Πως
υπολογιζουμε ιδιοτιμες – ιδιοδιανυ
Εστω
οτι δινεται ενας τετραγωνικος πινακας Α
ταξης
n.
Λεμε
οτι ο αριθμος λ ειναι ιδιοτιμη του Α αν και
μονο αν υπαρχει ενα μη μηδενικο διανυσμα Χ
ωστε ΑΧ = λχ
Μεταφεροντας
το δευτερο μερος στο πρωτο εχω
(Α
–λIn)
X
= 0 (1)
H σχεση (1)
εκφραζεται με ενα γραμμικο συστημα στο
οποιο ο πινακας συντελεστων
ειναι Α –λIn
Aν τωρα
det(Α –λIn)
0, τοτε το συστημα θα εχει μοναδικη λυση.
Εφοσον
ομως το μηδενικο
διανυσμα ειναι λυση και Χ
0, πρεπει να εχω
det (Α –λIn)
= 0
Θα
μεθοδευσουμε την ευρεση ιδιοτιμων-
ιδιοδιανυσματων με το παρακατω παραδειγμα
Θεωρουμε
τον πινακα Α=
Για
να βρουμε τα ιδιοδιανυσματα του Α
1.
Σχηματιζω τον πινακα
Α –λIn =
-λ
=
2.
Βρισκω την
det (Α –λIn) =
det
= λ2 –λ +6
3.
Επιλυω την λ2 –λ +6
και εχω λ =3 η λ= -2. Αυτες ειναι οι ιδιοτιμες
του Α.
4.
Επιλυω το αντιστοιχο
συστημα για να βρω τα ιδιοδιανυσματα
(1 – λ )χ +2y=
0
3 Χ – λy =0
Aν
θεσουμε λ = 3, παιρνουμε το συστημα
-2
χ+ 2y =0
3x – 3y =0
Προφανως πρεπει χ =
y,
αρα ενα τυχαιο διανυσμα του ιδιοχωρου ειναι
(χ ,y)=(
x ,x)=x(1
,1)
Το διανυσμα (1, 1) ειναι το αντιστοιχο
ιδιοδιανυσμα και
ειναι βαση του αντιστοιχου ιδιοχωρου.
Ομοια θετουμε λ= -2 και εχουμε¨
3χ+2y = 0, δηλαδη οι δυο
εξισωσεις αναγονται σε μια.
Εχω λοιπον χ =
y,
αρα (χ ,
y)
=( 
y,
y) =
y (
, 1)
, 1), ειναι το δευτερο ιδιοδιανυσμα που
αναζητουσαμε.