ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Τα μη παραμετρικα tests δεν απαιτουν τα δεδομενα να ταιριαζουν σε μια συγεκριμενη στατιστικη κατανομη. Γενικότερα, τα μη παραμετρικά τεστ απαιτούν πιο ελεύθερους όρους εφαρμογής τους . Ένας άλλος σημαντικός λόγος για τη χρήση των τεστ είναι επειδή επιτρέπουν την ανάλυση κατηγορηματικών δεδομένων κατάταξης.
- Γιατί τότε δεν τα χρησιμοποιούμε
συνεχώς;
Προτιμούμε τα μη παραμετρικά τεστ επειδή
1. Είναι ισχυρά τεστ.
2. Έχουν μεγαλύτερη αποτελεσματικότητα δηλαδή μεγαλύτερη ισχύ σε σχέση με τα παραμετρικά τεστ.
3. Αποδίδουν άμεσες και ακριβείς πληροφορίες.
4. Είναι συνηθισμένο τα παραμετρικά και μη παραμετρικά τεστ να χρησιμοποιούνται σε δύο διαφορετικούς τύπους στατιστικών ερωτημάτων.
- Συσχέτιση με παραμετρικά τεστ
Θεωρώντας γνωστή την εφαρμογή διωνυμικού τεστ και του τεστ Spearman Rho που αφορά κατατασσόμενα δεδομένα εισάγουμε το χι-τετράγωνο τεστ.
II. Χι-τετράγωνο
Με το τεστ αυτό αντιπαραβάλλουμε τις παρατηρούμενες με τις αναμενόμενες συχνότητες παρατήρησης. Χρησιμοποιείται κυρίως σε δύο περιπτώσεις.
- Περίπτωση μιας μεταβλητής
Πρόκειται για το λεγόμενο τεστ goodness of fit. Το παρακάτω παράδειγμα θα ξεκαθαρίσε τα πράγματα.
- Ερώτημα
Οι άνθρωποι στο δείγμα μας προτιμούν ένα συγκεκριμένο είδος μουσικής;
Υπόθεση: HO Η παρατηρούμενη κατανομή ταιριάζει στην αναμενόμενη με δυο λόγια δεν υπάρχει προτίμηση κάποιου συγκεκριμένου είδους μουσικής. HA Η παρατηρούμενη κατανομή δεν ταιριάζει στην αναμενόμενη, άρα υπάρχει προτίμηση ως προς τη μουσική.
- Υποθέσεις
- Τυχαία επιλογή δείγματος.
- Σε κάθε υποκείμενο επιτρέπεται μόνο μια επιλογή.
- Η μηδενική υπόθεση.
- Κανόνες αποφάσεως
Έστω c ο αριθμός των στηλών. Έστω οτι υπάρχουν τέσσερις προτιμήσεις ή στήλες Tότε, df=c-1 η 4-1=3 και σε επίπεδο σημαντικότητας. a =0 .05 η κρίσιμη τιμή του χι-τετράγωνο στατιστικού είναι 7.82.
Αν x2³7.82, απορρίπτουμε την Ho.
Αν x2<7.82, τότε δεν απορρίπτουμε την Ho.
Υπολογισμός
Εκτιμούμε το ποσοστό των ατόμων που προτιμούν κάθε έναν απο τους δεδομένους τύπους μουσικής.
Αν ρωτούσαμε ένα τυχαίο δείγμα ανθρώπων ποιό είδος μουσικής προτιμούν απο τα τέσσερα, και δεν υπήρχε συγκεκριμένη προτίμηση, θα αναμέναμε 25% των ατόμων να προτιμούν κάθε ένα συγκεκριμένο είδος μουσικής. Θεωρούμε:
Ej = την αναμενόμενη συχνότητα της j στήλης Oj = την παρατηρούμενη συχνότητα της j στήλης Στο παράδειγμά μας, j = το πλήθος των τύπων μουσικής Συμπεραίνουμε οτι:
Έστω οτι το δείγμα μας έδωσε τα παρακάτω δεδομένα:
ROCK POP COUNTRY HOUSE Αναμενόμενα 25 25 25 25 επι τοις% Παρατηρούμενα 30 35 15 20 αν n=100 %35 30 20 15 Αντικαθιστώντας τα δεδομένα στη φόρμουλα που δίνει το χι-τετράγωνο έχουμε:
5. Λήψη στατιστικής αποφάσεως
Αφού x2 (10.00) > x2crit (7.82), απορρίπτουμε την Ho και βεβαίως συμπεραίνουμε οτι τα άτομα στο δείγμα μας έχουν πολύ συγκεκριμένες προτιμήσεις για το ποιός τύπος μουσικής τους αρέσει.
- Ερώτημα
- Περίπτωση δυο μεταβλητών
Το τεστ που ακολουθεί είναι ένα τεστ ανεξαρτησίας ανάμεσα σε δυο μεταβλητές.
Θεωρούμε τα ακόλουθα δεδομένα σε μορφή πίνακα συνάφειας ως προς τη χρήση ενός αναψυκτικού τύπου cola σε σχέση με κάποιες ηλικιακές ομάδες:
Πινακας συναφειας Χρήση αναψυκτικού τύπου cola Σύνολο < 4 φορές τη βδομάδα ³ 3 φορές τη βδομάδα Προτιμώμενες κατηγορίες άλλων αναψυκτικών 1-5 26 6 32 5-7 17 25 42 Σύνολο43 31 74
- Ερώτηση
Σχετίζεται η συχνότητα χρήσης αναψυκτικού τύπου cola με τη χρήση άλλων αναψυκτικών;
- Υποθέσεις
HO Δεν υπάρχει συνάφεια ανάμεσα στις δυο μεταβλητές, δηλαδή είναι ανεξάρτητες. HA Υπάρχει συνάφεια ανάμεσα στις δυο μεταβλητές.
- Υποθέσεις
- Τα υποκείμενα του δείγματος επιλέγονται τυχαία.
- Κάθε υποκείμενο επιλέγει μόνο ένα κελί του παραπάνω πίνακα.
- Για τον παραπάνω πίνακα που είναι 2x2 όλες οι παρατηρούμενες συχνότητες των κελιών θα έπρεπε να είναι τουλάχιστον 10.
- Η μηδενική υπόθεση.
- Κανόνες απόφασης
έστω πάλι c ο αριθμός των στηλών. Αφού υπάρχει και δεύτερη μεταβλητή, έστω r αριθμός των γραμμών. Τότε, df=(c-1)(r-1) ή (2-1)(2-1)=1 και σε στάθμη σημαντικότητας a = 0.05 η κρίσιμη τιμή του χι-τετράγωνο είναι 3.84.
Αν x2³3.84, απορρίπτουμε την Ho.
Αν x2<3.84, δεν απορρίπτουμε την Ho.
- Υπολογισμός του στατιστικού
Έστω:
Ejk = η αναμενόμενη συχνότητα του κελιού που ανήκει στην k-γραμμή και την j-στήλη. Ojk = η παρατηρούμενη συχνότητα του κελιού που ανήκει στην k-γραμμή και την j-στήλη. Όπου j = αριθμός στηλών και k = αριθμός γραμμών.
Και:
Θέτουμε:
και έχουμε.
Πινακας συναφειας Χρήση αναψυκτικού τύπου cola Σύνολο < 4 φορές τη βδομάδα ³ 3 φορές τη βδομάδα Προτιμώμενες κατηγορίες άλλων αναψυκτικών 1-5 26 (18.6) 6 (13.4) 32 5-7 17 (24.40) 25 (17.6) 42 Σύνολο43 31 74 Απο τον τύπο του :χι τετράγωνο έχουμε
- Συμπέρασμα
Εφόσον x2 (12.4) > 3.84, απορρίπτουμε την Ho έναντι της εναλλακτικής.
- Ερώτηση