|
Σε αυτην την
ενοτητα θα μεθοδευσουμε την επιλυση της
Δ.Ε. Bernoulli
Η γενικη
μορφη της Δ.Ε. Bernoulli ειναι
y' + p(x) y
=q(x) y n (1)
Επιλυουμε
την εξισωση με αντικατασταση.
Θετουμε u = y1-n
Τοτε
εχουμε u' =(1 - n) y-ny'
και απο την (1) καταληγουμε στην
u'
+(1 - n) p(x)u =(1 - n) q(x) (2)
Η
(2) ειναι γραμμικη Δ. Ε. 1 ης ταξεως
ως προς u. Επιλυουμε αυτη ως προς
u και στη συνεχεια υπολογιζουμε
την y.
ΠΡΟΣΟΧΗ,
αν n > 1, τοτε πρεπει να προσθεσουμε και
την y = 0 στις λυσεις που βρεθηκαν
παραπανω
Ας
δουμε αναλυτικα τη μεθοδο
1.
ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ: Αντιλαμβανομαι οτι η δοσμενη
εξισωση ειναι τυπου Bernoulli
2.
θετω u = y1-n
3.
Επειδη u' =(1 - n) y-ny' ,
καταληγω στη μορφη u' +(1 - n)
p(x)u =(1 - n) q(x)
4. Λυνω την
τελευταια ως προς u.
5. Απο την
σχεση u = y1-n , λυνω ως
προς y
6. Αν
n> 1, προσθετω τη λυση y= ο στην
παραπανω
7. Αν
υπαρχει Π.Α.Τ., αντικαθιστω τα δεδομενα
και προσδιοριζω τη σταθερα c της
συναρτησης y
Παραδειγμα
Να λυθει η
Δ.Ε. y' =y + ex y0.5
Προκειται
για εξισωση Bernoulli με n =1/2
Θετουμε y = u
2 και καταληγουμε στην
εξισωση u' - 1/2 u = 1/2 e x
που ειναι γραμμικη και εχει λυση u =e
x+ ce x/2 . Απο τη σχεση y =
u 2 προκυπτει βεβαια οτι y =( e x
+c e x/2 ) 2. Προφανως αυτη
ειναι και η γενικη λυση.
|