ορισμος: Ονομαζουμε σειρα Fourier τη μαθηματικη εκφραση
Φυσικα, αυτη η παρασταση αντιπροσωπευει ενα αθροισμα απειρων ορων. Αν ομως περιορισουμε την παρασταση σε πεπερασμενο πληθος ορων, τοτε παιρνουμε το πολυωνυμο Fourier, που εχει τη μορφη
Οι σταθερες α0, α i, b i οπου i=1, 2, ... ,η ειναι οι συντελεστες του πολυωνυμου
Fourier
Kαθε πολυωνυμο Fourier ειναι 2π- περιοδικη συναρτηση.
Χρησιμοποιωντας τις γνωστες απο το Λυκειο ταυτοτητες
αποδεικνυω ευκολα οτι
Α. Για 
εχω 
Γ. Για 
εχω 
Δ. Για n μεγαλυτερο η ισο του ενα εχω
Αν τωρα η f ειναι 2π- περιοδικη συναρτηση, ολοκληρωσιμη στο [-π , π] τοτε θετοντας
θα παρουμε το αναπτυγμα της f σε σειρα Fourier
Παραδειγμα
Να βρεθει το αναπτυγμα Fourier της f(x)= x, οπου το χ ανηκει στο [-π , π]
Λυση :
Παρατηρω οτι η f ειναι περιττη, αρα αn
=0, για
Θα υπολογισω
λοιπον τους bn.
Για καθε 
εχουμε
οποτε 
και το αναπτυγμα της f σε fourier ειναι
Θα μαθουμε στη συνεχεια να βρισκουμε τη σειρα fourier συναρτησης L- περιοδικης
Λεμε οτι η F ειναι L- περιοδικη, οταν οριζεται και ειναι περιοδικη στο [-L , L]
Τοτε θετω F(x)= f(Lx/π)
Η f ειναι ορισμενη και ολοκληρωσιμη στο [-π , π]
Αναπτυσσω σε fourier την F
θετοντας t= Lx/π,
εστω f η συναρτηση που ειναι ορισμενη και ολοκληρωσιμη στο [-L , L].
Το αναπτυγμα fourier της f ειναι
οπου
για n μεγαλυτερο η ισο του ενα
Παραδειγμα
Να βρεθει η σειρα fourier της συναρτησης με τυπο
Σε αυτη την περιπτωση εχω L=2 αρα
συνεπως 