ορισμος: Ονομαζουμε
σειρα Fourier τη μαθηματικη εκφραση

Φυσικα, αυτη
η παρασταση αντιπροσωπευει ενα αθροισμα
απειρων ορων. Αν ομως περιορισουμε την
παρασταση σε πεπερασμενο πληθος ορων, τοτε
παιρνουμε το πολυωνυμο Fourier, που εχει τη
μορφη

Οι
σταθερες α0,
α i,
b i οπου
i=1, 2, ... ,η ειναι οι συντελεστες του
πολυωνυμου
Fourier
Kαθε
πολυωνυμο Fourier ειναι 2π- περιοδικη συναρτηση.
Χρησιμοποιωντας
τις γνωστες απο το Λυκειο ταυτοτητες

αποδεικνυω
ευκολα οτι
Α. Για
εχω 
Β. Για
οποιαδηποτε m, n εχω
Γ. Για
εχω 
Δ. Για n
μεγαλυτερο η ισο του ενα εχω

Αν τωρα η f
ειναι 2π- περιοδικη συναρτηση, ολοκληρωσιμη
στο [-π , π] τοτε θετοντας
θα παρουμε το
αναπτυγμα της f σε σειρα Fourier

Παραδειγμα
Να βρεθει το
αναπτυγμα Fourier της f(x)= x, οπου το
χ ανηκει στο [-π , π]
Λυση :
Παρατηρω οτι η f ειναι περιττη, αρα αn
=0, για 
Θα υπολογισω
λοιπον τους bn.
Για καθε εχουμε

οποτε 
και το
αναπτυγμα της f σε fourier ειναι

Θα μαθουμε
στη συνεχεια να βρισκουμε τη σειρα
fourier συναρτησης L- περιοδικης
Λεμε οτι η F
ειναι L- περιοδικη, οταν οριζεται και
ειναι περιοδικη στο [-L , L]
Τοτε θετω F(x)=
f(Lx/π)
Η f
ειναι ορισμενη και ολοκληρωσιμη στο [-π , π]
Αναπτυσσω
σε fourier την F

θετοντας
t= Lx/π,
εστω f η
συναρτηση που ειναι ορισμενη και
ολοκληρωσιμη στο [-L , L].
Το αναπτυγμα
fourier της f ειναι

οπου

για n
μεγαλυτερο η ισο του ενα
Παραδειγμα
Να βρεθει η
σειρα fourier της συναρτησης με τυπο

Σε αυτη την
περιπτωση εχω L=2 αρα

για
συνεπως 
|