ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
→ Έστω
=
ο δειγματοχώρος ενός πειράματος τύχης.
Αν P(a)=0.5,
P(b)=0.25 και
P(c)=0.25, να βρείτε τις
πιθανότητες όλων των δυνατών υποσυνόλων του
.
→ Ρίχνουμε ένα τίμιο ζάρι δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα να έρθει 3,5 ή 6 στην πρώτη ρίψη και 1,2,4 ή 6 στη δεύτερη.
→ Τραβάμε στην τύχη ένα χαρτί από μιά συνηθισμένη τράπουλα 52 χαρτιών. Να βρεθεί η πιθανότητα το χαρτί αυτό να είναι
α) άσσος,
β) βαλές μπαστούνι,
γ) τρία κούπα ή έξι καρρό,
δ) σπαθί,
ε) όχι κούπα,
στ) το δέκα το καλό,
ζ) ούτε τέσσερα ούτε άσσος.
→ Ένα δοχείο περιέχει α κόκκινους και β μαύρους βόλους. Επιλέγουμε τυχαία ένα βόλο από το δοχείο, και στη συνέχεια ένα δεύτερο από αυτούς που είχαν απομείνει στο δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:
α) και οι δύο βόλοι είναι κόκκινοι
β) ο πρώτος βόλος είναι κόκκινος και ο δεύτερος μαύρος
γ) ο πρώτος βόλος είναι μαύρος και ο δεύτερος κόκκινος
δ) και οι δύο βόλοι είναι μαύροι.
→ Ποια είναι η πιθανότητα μιά οικογένεια με δύο παιδιά να έχει
α) δύο αγόρια δεδομένου ότι έχει τουλάχιστον ένα αγόρι;
β) δύο αγόρια δεδομένου ότι το πρώτο παιδί είναι κορίτσι;
→ Από 20 κάρτες, αριθμημένες από το ένα ως το 20, επιλέγονται δύο τυχαία και χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα οι αριθμοί που εμφανίστηκαν να έχουν άθροισμα:
α) ίσο με 15;
β) μικρότερο του 18;
γ) μεγαλύτερο του 10;
→ Δύο τίμια ζάρια ρίχνονται μία φορά. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των γεγονότων:
εμφανίζονται ίδιοι αριθμοί και στις δύο όψεις
,
ο εμφανιζόμενος αριθμός στο ένα ζάρι είναι μεγαλύτερος
του εμφανιζόμενου στο άλλο ζάρι
,
το άθροισμα των εμφανιζόμενων αριθμών και στα δύο ζάρια είναι πολλαπλάσιο του 3
.
Υποθέστε ότι
και
είναι δύο γεγονότα με θετική πιθανότητα
να πραγματοποιηθούν. Δείξτε ότι αν
,
τότε
.
→Ενα κουτί περιέχει 6 κόκκινες, 4 άσπρες και 7 μπλέ σφαίρες, κατά τ' άλλα όμοιες. Επιλέγουμε διαδοχικά τρεις σφαίρες (α) με επανατοποθέτηση, (β) χωρίς επανατοποθέτηση. Βρείτε την πιθανότητα να βγούν οι σφαίρες στη σειρά κόκκινη, μπλέ και άσπρη.
→ Εάν
,
είναι γεγονότα ενός πειράματος τύχης,
δείξτε ότι
→ Ρίχνουμε τρείς φορές ένα αμερόληπτο ("τίμιο") ζάρι. Αν ξέρουμε ότι το 1 εμφανίστηκε τουλάχιστον μιά φορά, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανίστηκε ακριβώς μία φορά;
→ Δύο τίμια ζάρια ρίχνονται μία φορά. Δεδομένου ότι το άθροισμα των εμφανισθέντων αριθμών είναι 7, ποια είναι η πιθανότητα σ' ένα τουλάχιστον από τα ζάρια να εμφανιστεί ένα 3;
→ Ένα κουτί περιέχει 4 άσπρες και 2 μαύρες σφαίρες, ενώ ένα δεύτερο 3 άσπρες και 5 μαύρες. Επιλέγουμε μιά σφαίρα από κάθε κουτί. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι
α) και οι δύο άσπρες,
β) και οι δύο μαύρες,
γ) η μιά άσπρη και η άλλη μαύρη;
→ Τραβάμε στην τύχη ένα χαρτί από μιά τράπουλα 52 χαρτιών, και μετά ένα δεύτερο (α) με επανατοποθέτηση του πρώτου, (β) χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε δύο άσσους;
→ Ένα εργοστάσιο έχει δύο μηχανήματα
και
, τα οποία κατασκευάζουν
το 70% και 30% της συνολικής παραγωγής, αντίστοιχα.
Το ποσοστό των ελαττωματικών κομματιών είναι
για το
μηχάνημα
και
για το μηχάνημα
. Βρείτε την πιθανότητα
ένα ελαττωματικό κομμάτι της παραγωγής να κατασκευάστηκε από το
μηχάνημα
.