ΔΙΑΚΡΙΣΗ Φοιτητικά Φροντιστηρια

 Iδιαίτερα Οnline  μαθήματα IB, EPSO ή Degree Level Maths and Economics, GCSE AS/A Level, GRE, SAT, STEP, MAT, Aptitude tests.

Στείλτε μήνυμα στο vmpak@yahoo.gr η αφήστε μήνυμα στο 00447492207431 (UK)


Καλώς ήλθατε στο website της Διάκρισης.

Εχουμε βοηθήσει πολλούς υποψήφιους να πετύχουν  στις κατατακτήριες εξετάσεις, αλλά και στον δύσκολο Διαγωνισμό της Ευρωπαικης Ενωσης (EPSO).  Διδάσκουμε  μαθήματα ONLINE ή OFFLINE ιδιαίτερα ή σε γκρουπ, σε φοιτητές και μαθητές με υψηλές απαιτήσεις και στόχους και βοηθούμε υπεύθυνα  στην λύση εργασιών. Δημιουργούμε VIDEO ON DEMAND και επιμελούμαστε  μια πληθώρα σελίδων, δωρεάν άρθρων online, VIDEO για φοιτητές ΕΑΠ, ΕΜΠ, ΑΕΙ, ΑΤΕΙ, Κατατακτηριες εξετασεις, EPSO, AST και AD καθώς και υλικό που προάγει την έρευνα στα μαθηματικά.

Δείτε τα ΜAΘΗΜΑΤΙΚΑ VIDEO στο Youtube , που αφορούν Aνάλυση, Αλγεβρα, Πιθανότητες, Στατιστική, Mαθηματικούς Διαγωνισμούς ( Putnam), για London University, Imperial College, Cambridge and Oxford Universities, SAT, GRE, A level, Θεωρία Ομάδων, Θεωρία Αριθμών, Μιγαδική Ανάλυση, Συναρτησιακή Ανάλυση, Mηχανική, Γεωμετρία, Επιχειρησιακή Ερευνα, Οικονομικά Μαθηματικά, Παράγωγα Χρηματοοικονομικά προιόντα κα. Xαίρομαστε πραγματικά με τις επιτυχίες των φοιτητών μας, έστω και αν κάποιες φορές οδηγούμαστε σε "extreme"  καταστάσεις, όπως για παράδειγμα ο φοιτητής  ενος Αγγλικού Πανεπιστημίου, που τον κάλεσαν (πανικόβλητο είναι αλήθεια) απο την πρυτανεία ως μαθηματικό ταλέντο, όταν  του λύσαμε ενα εξαιρετικά δύσκολο όριο μέσα σε μια homework, τη στιγμή που  θεωρούσαν οι καθηγητές του οτι μπορούσε να λυθεί   μόνο με Matlab!! (εξειδικευμένο υπολογιστικό software)

 

Home
μαθηματα Online
Μαθηματικα VIDEOS
DVD-VIDEO ON DEMAND
Ανοικτο Πανεπιστημιο
Tutoring for International colleges and Universities
Ιnternational Baccalaureate DP IB
κατατακτηριες 2015
Γιατι Online μαθηματα
EPSO, AST, AD
epso more info
Θεσεις EPSO
EPSO πιθανοτητες
verbal reasoning test
situational tests
abstract reasoning test
Numerical tests
e-tray
τελικη φαση epso
distance learning
Μηχ.Παρ.Διοικ.. Κρητης
ποιοι ειμαστε
ΛΥΚΕΙΟ-ΕΠΑΡΧΙΑ
Οδηγιες για εξετασεις
Μαθ/τα ΤΟΠΑ, Δημ. Διοικηση
κουιζ για ΕΑΠ
Ολοκληρωματα δυσκολα
Φυσικο Αθηνας
Ο ιδανικος καθηγητης
νεο quizgame
παραγωγος διαν. συναρτησης
διπλα ολοκληρωματα
συναρτηση δυναμικου
μηκος καμπυλης
παραγωγος συναρτησης
Ασκηση σε ομοιομ. συνεχεια
ασκησεις παραγωγων
ασκ. αναλυσης1
ασκ. αναλυσης2
κυρτα κοιλα
εξωτερικο γινομενο
ασκησεις γραμμικης αλγεβρας
εξισωσεις frenet
πολλ/τες Lagrange
ασκηση Taylor
γενικευμενος τυπος TAYLOR
επιφανειακα ολοκληρωματα
ακροτατα πολλων μεταβλητων
θεωρημα Peano lindeloff
γραμμικες ΔΕ  ανωτερης ταξης
διαφορικες εξισωσεις Clairaut
Θεηρημα Rolle θεωρημα μεσης τιμης
ακροτατα πανω σε καμπυλη
διμεταβλητη κανονικη κατανομη
μετασχηματισμος Laplace
θεωρημα προσεγγισης
Πινακας μετ/μου Laplace
κανονικο διανυσμα επιφανειας
Διαφορικες εξισωσεις Bernoulli
ασκηση αναλυσης
διαγωνισιμες απεικονισεις
ασκησεις στις πιθανοτητες
Gram Schmidt
μεγεθη-προγραμμα εαπ πληροφοριες
ασκηση μεγιστου ελαχιστου
χι-τετραγωνο test
ισομετριες
θεμα ΕΜΠ μηχανικη
Υπαρξη λυσεων δε 1ης ταξης
γραμμικοι τελεστες
ακτινικες δυναμεις
ακριβεις διαφορικες εξισωσεις
γραμμικος προγραμματισμος
ορισμος διαφορικων εξισωσεων
δεσμευμενη πιθανοτητα
ασκηση αλγεβρας
τυπος Taylor
μειωση ταξης ομογενους ΔΕ
κανονας l hospital
ομοιομορφη συνεχεια
μη ομογενεις γραμμικες ΔΕ αν.ταξης
εμβαδο επιφανειας στο χωρο
πολλαπλασιαστης Euler
μερικες παραγωγοι
αποκλιση στροβιλισμος div curl
συγκλιση ακολουθιων σε ευκ. χωρο
διαφορικη εξισωση Euler n ταξης
τριπλα ολοκληρωματα
ομογενεις ΓΔΕ αν. ταξης
παραμ/κη εξισ. ευθειας επιπεδου
ορια θ. ισοσυγκλισης
θεωρημα Stokes
διπλα ολοκληρωματα
θωρημα green ασκηση
ασκηση στα ορια
μεθοδος προσδ/τεων συντελεστων
θ. αποκλισης σε επιπεδοι-χωρο
παραγωγος κατα κατευθυνση
εφ/νο επιπεδο επιφανειας
εσωτερικο γινομενο
Λυση γραμμικης ΔΕ ν ταξης
ΔΕ χωριζομενων μεταβλητων
γραμμικες διαφορικες εξ.
εξισωσεις Lagrange
ομογενεις διαφορικες εξισωσεις
ασκησεις πιθανοτητες
ακριβεις διαφορικές εξισωσεις
μεθοδος συντελ. Lagrange
Picard προσεγγισεις
ΔΕ αναγ/νες σε ομογενεις
επικαμπυλιο ολοκληρωμα
αρμονικη σειρα
εξισωσεις frenet
σειρες fourier βασικες εννοιες
ιδιοτιμες ιδιοδιανυσματα
θεωρημα green
θεωρημα ολ. πιθανοτητας
ασκηση ελαχ. πολυωνυμο
πολλαπλος anova
ΔΕ Riccatti
ΔΕ Εuler
Ομογενεις ΔΕ 2ης ταξης
Συνελιξη
Ρητα ολοκληρωματα
ακτινα καμπυλοτητας
Υπολογισμος ιδιοτιμων


ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ, GRAM-SCHMIDT ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ, ΤΑΞΗ ΠΙΝΑΚΑ

 

 

  Έστω $V$ διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα $Κ$. Ένα εσωτερικό γινόμενο στο $V$ είναι μια απεικόνιση ( , ) : VxV→R η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιοτητες:
.
$(v,u)=(u,v)$ για κάθε $u,v \in V$
.
$(v,u+w)=(v,u)+(v,w)$ για κάθε $v,u,w\in V$
.
$(cv,u)=c(v,u)$ και $(v,cu)=c(v,u)$ για κάθε $v,u\in V$ και κάθε $c\in K$.
Tο εσωτερικό γινόμενο λέγεται κανονικό αν επιπλέον ικανοποιεί την παρακάτω συνθήκη: Αν για κάποιο $v\in V$ το $(v,w)=0$ για κάθε $w\in V$ τότε $v={\bf0}$.

$V$ είναι ο διανυσματικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων μιάς πραγματικής μεταβλητής στο διάστημα $[0,1]$ τότε η απεικόνιση

\begin{displaymath}(f,g)=\int_0^1f(t)g(t)dt\end{displaymath}

είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στον $V$.

  Έστω $V$ είναι ένας διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Λέμε ότι τα διανύσματα $v,u$ είναι κάθετα μεταξύ τους αν $(v,u)=0$. και συμβολίζουμε $u\perp v$. Αν $S$ είναι ένα υποσύνολο του $V$, συμβολίζουμε $S^{\perp }$ το σύνολο όλων των στοιχείων του $V$ που είναι κάθετα σε όλα τα στοιχεία του $S$. Ο $S^{\perp }$ είναι υπόχωρος του $V$ και καλείται ο ορθογώνιος η κάθετος υπόχωρος του $S$.

Αν $A{\bf x}={\bf0}$ είναι ένα ομογενές $m\times n$ σύστημα, τότε οι λύσεις του συστήματος, δηλαδή τα διανύσματα ${\bf x}\in K^n$, ικανοποιούν τις εξισώσεις $A_i{\bf x}=0$ $i=1,\ldots ,m$. To σύνολο των λύσεων του συστήματος είναι ο ορθογώνιος υπόχωρος του συνόλου $S=\{A_1,\ldots ,A_n\}$.

  Έστω $V$ διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο και ${\cal B}=\{ v_1, \ldots
,v_n\}$ βάση του $V$. Η ${\cal B}$ λέγεται ορθογώνια αν $(v_i,v_j)=0$ για κάθε $i\neq j$.

Ορισμός   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος πάνω στο $\mathbb R$, με εσωτερικό γινόμενο. To εσωτερικό γινόμενο λέγεται θετικά ορισμένο αν $(v,v)\ge 0$ για κάθε $v\in V$ και $(v,v)>0$ αν $v\neq {\bf0}$. Αν $v\in V$ ορίζω νόρμα του $v$,

\begin{displaymath}\Vert v\Vert=\sqrt{(v,v)}.\end{displaymath}

$v,u\in V$ oρίζω απόσταση των $v,u$,

\begin{displaymath}{\rm dist}(v,u)=\Vert v-u\Vert.\end{displaymath}

Ένα στοιχείο $v\in V$ λέγεται μοναδιαίο αν $\Vert v\Vert=1$. Είναι σαφές ότι για κάθε ${\bf0}\neq v\in V$, το διάνυσμα $\frac{v}{\Vert v\Vert}$ είναι μοναδιαίο.

Θεώρημα    Έστω $V$ διανυσματικός χώρος με νόρμα. Για κάθε $v\perp u$ ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα, δηλαδή

\begin{displaymath}\Vert v+u\Vert^2=\Vert v\Vert^2+\Vert u\Vert^2.\end{displaymath}

ενώ για τυχαία διανύσματα $v,u\in V$ ισχύει ο νόμος του Παραλληλογράμμου, δηλαδή

\begin{displaymath}\Vert v+u\Vert^2+\Vert v-u\Vert^2=2\Vert v\Vert^2+2\Vert u\Vert^2.\end{displaymath}

Ορισμός   Αν $V$ διανυσματικός χώρος με $v,w\in V$ και $\Vert w\Vert\neq 0$ τότε το

\begin{displaymath}cw=\frac{(v,w)}{(w,w)}w\end{displaymath}

λέγεται η προβολή του $v$ στο $w$.

Ανισότητα Schwarz  Για κάθε $v,w\in V$ έχουμε

\begin{displaymath}\vert(v,w)\vert\le \Vert v\Vert\Vert w\Vert.\end{displaymath}

Τριγωνική Ανισότητα  Αν $v,w\in V$ τότε

\begin{displaymath}\Vert v+w\Vert\le \Vert v\Vert+\Vert w\Vert.\end{displaymath}



Ορισμός    Έστω $V$ διανυσματικός χώρος με θετικά ορισμένο εσωτερικό γινόμενο. Mια βάση του $V$ έστω $\{v_1,\ldots ,v_n\}$ λέγεται ορθογώνια αν τα στοιχεία της είναι κάθετα ανα δύο, δηλαδή $(v_i,v_j)=0$ για κάθε $i\neq j$. Αν επιπλέον τα στοιχεία της βάσης είναι μοναδιαία διανύσματα τότε η βάση λέγεται ορθοκανονική.

  Έστω $V$ διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης με θετικά ορισμένο εσωτερικό γινόμενο. Έστω $W$ υπόχωρος του $V$ και $\{w_1,\ldots ,w_m\}$ ορθογώνια βάση του $W$. Αν $W\neq V$ τότε υπάρχουν στοιχεία $\{ w_{m+1}, \ldots ,w_n\}$ του $V$ ώστε τα $\{w_1,\ldots ,w_n\}$ να αποτελούν ορθοκανονική βάση του $V$.

 Έστω $V\neq {\bf0}$ διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης με θετικά ορισμένο εσωτερικό γινόμενο. To $V$ έχει μια ορθοκανονική βάση.

  Έστω $V$ διανυσματικός χώρος στο $\mathbb R$ με θετικά ορισμένο εσωτερικό γινόμενο, διάστασης $n$. Έστω $W$ υπόχωρος του $V$ διάστασης $r$ και $W^{\perp }$ o υπόχωρος του $V$ που αποτελείται από τα στοιχεία του $V$ κάθετα στα στοιχεία του $W$. Τότε το $W$ είναι το ευθύ άθροισμα των $W$ και $W^{\perp }$ και $W^{\perp }$ έχει διάσταση $n-r$. Δηλαδή

\begin{displaymath}V=W\oplus W^{\perp }\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\rm dim}V={\rm dim}W+{\rm
dim}W^{\perp }.\end{displaymath}

O υπόχωρος $W^{\perp }$ του $V$ λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του $W$.

Λέγεται θετικά ορισμένο αν $(v,v)\ge 0$ για κάθε $v\in V$ και $(v,v)>0$ για κάθε $v\neq {\bf0}$.

 

 Gram-Schmidt ορθοκανονικοποίηση:   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης με θετικά ορισμένο ερμιτιανό γινόμενο. Έστω $W$ υπόχωρος του $V$ και $\{w_1,\ldots ,w_m\}$ ορθογώνια βάση του $W$. Αν $W\neq V$ τότε υπάρχουν στοιχεία $\{ w_{m+1}, \ldots ,w_n\}$ του $V$ ώστε τα $\{w_1,\ldots ,w_n\}$ να αποτελούν ορθοκανονική βάση του $V$.

Αν $V\neq {\bf0}$ διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης με θετικά ορισμένο ερμιτιανό γινόμενο πάνω στο $\mathbb C$, αποδεικνύεται οτι  τo $V$ έχει μια ορθοκανονική βάση.

Θεώρημα    Έστω $V$ διανυσματικός χώρος στο $\mathbb R$ με θετικά ορισμένο εσωτερικό γινόμενο, ή στο $\mathbb C$ με θετικά ορισμένο ερμιτιανό γινόμενο. Έστω ότι η διάσταση του $V$ είναι πεπερασμένη, ίση με $n$. Έστω $W$ είναι υπόχωρος του $V$ διάστασης $r$ και $W^{\perp }$ o υπόχωρος του $V$ που αποτελείται από τα στοιχεία του $V$ κάθετα στα στοιχεία του $W$. Τότε το $W$ είναι το ευθύ άθροισμα των $W$ και $W^{\perp }$ και $W^{\perp }$ έχει διάσταση $n-r$. Δηλαδή

\begin{displaymath}V=W\oplus W^{\perp }\end{displaymath}


\begin{displaymath}{\rm dim}V={\rm dim}W+{\rm
dim}W^{\perp }.\end{displaymath}

Θεώρημα    Έστω το σύστημα γραμμικών εξισώσεων

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccc}
a_{11}x_1 & + & \ldots & a_{1n}x_n & =...
... & & \\
a_{m1}x_1 & + & \ldots & a_{mn}x_n & = & 0
\end{array}\end{displaymath}

Οι λύσεις του συστήματος 
.
είναι τα διανύσματα που ικανοποιούν την εξίσωση

\begin{displaymath}x_1A^1+\ldots +x_nA^n={\bf0}\end{displaymath}

.
είναι τα στοιχεία του ορθογώνιου υπόχωρου στα διανύσματα γραμμές του συστήματος.
.
είναι τα στοιχεία του πυρήνα της γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον πίνακα $A$, δηλαδή οι λύσεις της εξίσωσης $AX={\bf0}$.

Ορισμός   Αν $A$ είναι ένας $m\times n$ πίνακας με στοιχεία στο $K$, τότε οι στήλες του $A$, έστω $A^1,\ldots ,A^n$ ορίζουν έναν υπόχωρο του $K^n$ η διάσταση του οποίου καλείται τάξη στηλών του $A$.

Όμοια, η διάσταση του υπόχωρου που ορίζουν οι γραμμές $A_1,\ldots ,A_m$ του $A$ λέγεται τάξη γραμμών του $A$.

Θεώρημα   Αν $A$ ένας $m\times n$ πίνακας. Τότε η τάξη γραμμών και η τάξη στηλών του $A$ είναι ίσες, έστω $r$. Επιπλέον, η διάσταση του υπόχωρου των λύσεων του ομογενούς συστήματος που αντιστοιχεί στον $A$ είναι $n-r$.

 

 

    
 

Διάκριση, μαθήματα για φοιτητές ,EPSO, κατατακτήριες
Στείλτε μήνυμα στο 004407492207431 (UΚ)
 
ή στείλτε email στο vmpak@yahoo.gr .



Web design/Content: Internet Team
 
 
     ©   all rights reserved
Last modified: Ιανουαρίου 29, 2016

 

Home
μαθηματα Online
Μαθηματικα VIDEOS
DVD-VIDEO ON DEMAND
Ανοικτο Πανεπιστημιο
Tutoring for International colleges and Universities
Ιnternational Baccalaureate DP IB
κατατακτηριες 2015
Γιατι Online μαθηματα
EPSO, AST, AD
epso more info
Θεσεις EPSO
EPSO πιθανοτητες
verbal reasoning test
situational tests
abstract reasoning test
Numerical tests
e-tray
τελικη φαση epso
distance learning
Μηχ.Παρ.Διοικ.. Κρητης
ποιοι ειμαστε
ΛΥΚΕΙΟ-ΕΠΑΡΧΙΑ
Οδηγιες για εξετασεις
Μαθ/τα ΤΟΠΑ, Δημ. Διοικηση
κουιζ για ΕΑΠ
Ολοκληρωματα δυσκολα
Φυσικο Αθηνας
Ο ιδανικος καθηγητης
νεο quizgame
παραγωγος διαν. συναρτησης
διπλα ολοκληρωματα
συναρτηση δυναμικου
μηκος καμπυλης
παραγωγος συναρτησης
Ασκηση σε ομοιομ. συνεχεια
ασκησεις παραγωγων
ασκ. αναλυσης1
ασκ. αναλυσης2
κυρτα κοιλα
εξωτερικο γινομενο
ασκησεις γραμμικης αλγεβρας
εξισωσεις frenet
πολλ/τες Lagrange
ασκηση Taylor
γενικευμενος τυπος TAYLOR
επιφανειακα ολοκληρωματα
ακροτατα πολλων μεταβλητων
θεωρημα Peano lindeloff
γραμμικες ΔΕ  ανωτερης ταξης
διαφορικες εξισωσεις Clairaut
Θεηρημα Rolle θεωρημα μεσης τιμης
ακροτατα πανω σε καμπυλη
διμεταβλητη κανονικη κατανομη
μετασχηματισμος Laplace
θεωρημα προσεγγισης
Πινακας μετ/μου Laplace
κανονικο διανυσμα επιφανειας
Διαφορικες εξισωσεις Bernoulli
ασκηση αναλυσης
διαγωνισιμες απεικονισεις
ασκησεις στις πιθανοτητες
Gram Schmidt
μεγεθη-προγραμμα εαπ πληροφοριες
ασκηση μεγιστου ελαχιστου
χι-τετραγωνο test
ισομετριες
θεμα ΕΜΠ μηχανικη
Υπαρξη λυσεων δε 1ης ταξης
γραμμικοι τελεστες
ακτινικες δυναμεις
ακριβεις διαφορικες εξισωσεις
γραμμικος προγραμματισμος
ορισμος διαφορικων εξισωσεων
δεσμευμενη πιθανοτητα
ασκηση αλγεβρας
τυπος Taylor
μειωση ταξης ομογενους ΔΕ
κανονας l hospital
ομοιομορφη συνεχεια
μη ομογενεις γραμμικες ΔΕ αν.ταξης
εμβαδο επιφανειας στο χωρο
πολλαπλασιαστης Euler
μερικες παραγωγοι
αποκλιση στροβιλισμος div curl
συγκλιση ακολουθιων σε ευκ. χωρο
διαφορικη εξισωση Euler n ταξης
τριπλα ολοκληρωματα
ομογενεις ΓΔΕ αν. ταξης
παραμ/κη εξισ. ευθειας επιπεδου
ορια θ. ισοσυγκλισης
θεωρημα Stokes
διπλα ολοκληρωματα
θωρημα green ασκηση
ασκηση στα ορια
μεθοδος προσδ/τεων συντελεστων
θ. αποκλισης σε επιπεδοι-χωρο
παραγωγος κατα κατευθυνση
εφ/νο επιπεδο επιφανειας
εσωτερικο γινομενο
Λυση γραμμικης ΔΕ ν ταξης
ΔΕ χωριζομενων μεταβλητων
γραμμικες διαφορικες εξ.
εξισωσεις Lagrange
ομογενεις διαφορικες εξισωσεις
ασκησεις πιθανοτητες
ακριβεις διαφορικές εξισωσεις
μεθοδος συντελ. Lagrange
Picard προσεγγισεις
ΔΕ αναγ/νες σε ομογενεις
επικαμπυλιο ολοκληρωμα
αρμονικη σειρα
εξισωσεις frenet
σειρες fourier βασικες εννοιες
ιδιοτιμες ιδιοδιανυσματα
θεωρημα green
θεωρημα ολ. πιθανοτητας
ασκηση ελαχ. πολυωνυμο
πολλαπλος anova
ΔΕ Riccatti
ΔΕ Εuler
Ομογενεις ΔΕ 2ης ταξης
Συνελιξη
Ρητα ολοκληρωματα
ακτινα καμπυλοτητας
Υπολογισμος ιδιοτιμων