ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
Έστω D ένα υποσύνολο
του Rn. To D θα
λέγεται ανοικτό αν γιά κάθε σημείο
του Ρ υπάρχει ένας ανοικτός δίσκος με κέντρο το Ρ (και θετική βέβαια ακτίνα) που βρίσκεται ολόκληρος μέσα στο
D.
Έστω
U υποσύνολο του R2,
f: D® R και (x,
y) σημείο του D.
Αν
το παρακάτω όριο υπάρχει

ονομάζεται
μερική
παράγωγος της
f
ως
προς
x στο σημείο (x,
y)
και συμβολίζεται με

Όμοια
ορίζεται η μερική
παράγωγος της
f
ως
προς
y στο σημείο (x,
y)
που συμβολίζεται με

Έστω ότι η
f
έχει μερικές παραγώγους ως προς
x
και
y
σημείο
(x,
y). Το
ανάδελτα ή
gradient
της
f
στο
σημείο (x,
y) είναι το διάνυσμα

To gradient
της
f
συμβολίζεται με
gradf.
Mπορούμε να θεωρήσουμε το
gradf
σαν μια συνάρτηση η οποία σε κάθε σημείο (x,
y) απεικονίζει το διάνυσμα
gradf(x,y).
Τα
παραπάνω εύκολα γενικεύονται και για
συνάρτηση
n
μεταβλητών.
ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
Έστω
f
μια συνάρτηση ορισμένη
ορισμένη στο ανοικτό D
και Χ σημείο του D.
Eπειδή
το D
είναι ανοικτό το σημείο Χ+Η είναι μέσα στο
D
όταν το ||Η|| είναι αρκετά μικρό. Αυτό
σημαίνει ότι η f
ορίζεται
στο σημείο
(x,
y)+(h,
k)=(x+h,
y+k) όπου
H=(h,
k).
Η
f
λέγεται διαφορίσιμη στο Χ αν οι μερικές παράγωγοι υπάρχουν στο Χ και αν υπάρχει συνάρτηση
g
ορισμένη
"
κοντά"
στο Η τέτοια ώστε

και

Αν θέσουμε το

σαν

τότε
η παραπάνω σχέση γράφεται

Έστω
ότι η
f
είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό σύνολο
D. Αν οι μερικές παράγωγοι της
f
υπάρχουν
και είναι συνεχείς στο
D
τότε
η
f είναι διαφορίσιμη σε κάθε
σημείο του
D.
H
διαφορισιμότητα σε ένα σημείο συνεπάγεται την
συνέχεια της συνάρτησης σ΄αυτό το σημείο..
Πράγματι, έστω
ότι η
f
είναι διαφορίσιμη στο Χ D. Τότε είναι συνεχής στο Χ.
ΜΕΡΙΚΕΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ
Έστω
f ορισμένη στο ανοικτό
D
για την οποία υπάρχουν οι

στο
(x,
y).
Αυτές μπορούμε να τις
παραγωγίσουμε πάλι ως προς
x
ή
y . Έτσι
ορίζουμε ως

Άν
οι μερικές παράγωγοι

υπάρχουν
και είναι συνεχείς τότε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
Έστω Α Rn
και
f(X) =
A2X Rn. Να υπολογίσετε το
gradf
2.Nα υπολογίσετε τις μερικές
παραγώγους μέχρι τάξης
3 της συνάρτησης
xy.
3.
Έστω
f
διαφορίσιμη
συνάρτηση ορισμένη στο ανοικτό
D Rn.Yποθέτουμε ότι η
f έχει ακρότατο στο Α U. Να δείξετε ότι
gradf(A) = 0.
|