ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
Έστω D ένα υποσύνολο του Rn. To D θα λέγεται ανοικτό αν γιά κάθε σημείο του Ρ υπάρχει ένας ανοικτός δίσκος με κέντρο το Ρ (και θετική βέβαια ακτίνα) που βρίσκεται ολόκληρος μέσα στο D.
Έστω U υποσύνολο του R2, f: D® R και (x, y) σημείο του D. Αν το παρακάτω όριο υπάρχει
ονομάζεται μερική παράγωγος της f ως προς x στο σημείο (x, y) και συμβολίζεται με
Όμοια ορίζεται η μερική παράγωγος της f ως προς y στο σημείο (x, y) που συμβολίζεται με
Έστω ότι η f έχει μερικές παραγώγους ως προς x και y σημείο (x, y). Το ανάδελτα ή gradient της f στο σημείο (x, y) είναι το διάνυσμα
To gradient της f συμβολίζεται με gradf.
Mπορούμε να θεωρήσουμε το gradf σαν μια συνάρτηση η οποία σε κάθε σημείο (x, y) απεικονίζει το διάνυσμα gradf(x,y).
Τα παραπάνω εύκολα γενικεύονται και για συνάρτηση n μεταβλητών.
ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
Έστω
f
μια συνάρτηση ορισμένη
ορισμένη στο ανοικτό D
και Χ σημείο του D.
Eπειδή
το D
είναι ανοικτό το σημείο Χ+Η είναι μέσα στο
D
όταν το ||Η|| είναι αρκετά μικρό. Αυτό
σημαίνει ότι η f
ορίζεται
στο σημείο
Η f λέγεται διαφορίσιμη στο Χ αν οι μερικές παράγωγοι υπάρχουν στο Χ και αν υπάρχει συνάρτηση g ορισμένη " κοντά" στο Η τέτοια ώστε
και
Αν θέσουμε το
σαν
τότε η παραπάνω σχέση γράφεται
Έστω ότι η f είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό σύνολο D. Αν οι μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν και είναι συνεχείς στο D τότε η f είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του D.
H διαφορισιμότητα σε ένα σημείο συνεπάγεται την συνέχεια της συνάρτησης σ΄αυτό το σημείο..
Πράγματι, έστω
ότι η
f
είναι διαφορίσιμη στο Χ
D. Τότε είναι συνεχής στο Χ.
ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ
Έστω f ορισμένη στο ανοικτό D για την οποία υπάρχουν οι
στο (x, y). Αυτές μπορούμε να τις παραγωγίσουμε πάλι ως προς x ή y . Έτσι ορίζουμε ως
Άν οι μερικές παράγωγοι
υπάρχουν και είναι συνεχείς τότε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
Έστω ΑRn
και
f(X) =
A2XRn. Να υπολογίσετε το
gradf
2.Nα υπολογίσετε τις μερικές
παραγώγους μέχρι τάξης
3 της συνάρτησης
xy.
3.
Έστω
f
διαφορίσιμη
συνάρτηση ορισμένη στο ανοικτό
D
Rn.Yποθέτουμε ότι η
f έχει ακρότατο στο ΑU. Να δείξετε ότι
gradf(A) = 0.