ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
Ένα σημείο Μ στο
επίπεδο μπορεί να
παρασταθεί με
μοναδικό τρόπο από δύο
αριθμούς (r, θ), όπου r η
απόστασή του Μ από
την αρχή των αξόνων και θ
[0,
2π) η
γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του
άξονα των x και της
ευθείας που
διέρχεται από την αρχή
των αξόνων και από το Μ.
Οι αριθμοί r, θ
θα λέγονται πολικές συντεταγμένες
του Μ.
Αν το Α έχει καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y) και πολικές συντεταγμένες (r, θ), ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις
Ο δίσκος με κέντρο την αρχή και ακτίνα 1 περιγράφεται από την ανισότητα r £ 1.
Θεώρημα: Έστω Π η περιοχή στο xy-επίπεδο που περιγράφεται από τις ανισότητες
a £ θ £ b, c £ r £ d
και Δ το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που επίσης περιγράφεται από τις παραπάνω ανισότητες αλλά αυτή τη φορά στο rθ-επίπεδο. Έστω f μια φραγμένη συνάρτηση ορισμένη στο Π η οποία είναι συνεχής στο Π εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο αριθμό από καμπύλες. Αν f0(r, θ) = f(x, y) = f(rcosθ, rsinθ), τότε η f0 είναι ολοκληρώσιμη στο Δ και
Παρατήρηση: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και στην περίπτωση περιοχών που περιγράφονται από πιο σύνθετες ανισότητες. Έστω γ, δ δύο συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα [α, β] με 0 £ γ(θ) £ δ(θ). Θεωρούμε την περιοχή Π στο xy-επίπεδο που αποτελείται από τα σημεία των οποίων οι πολικές συντεταγμένες ικανοποιούν τις σχέσεις
α £ θ £ β, 0 £ γ(θ) £ r £ δ(θ).
Αν Π0 είναι η περιοχή στο rθ-επίπεδο που περιγράφουν οι παραπάνω ανισότητες, τότε
Ασκήσεις
1. Να βρείτε το σύνολο των σημείων στο xy-επίπεδο που ικανοποιούν την σχέση
r = acosθ, a>0.
2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) = xy2 πάνω στην περιοχή Π που περιγράφεται από τις ανισότητες
x ³ 0, x2 + y2 ³ 1, x2 + y2 £ 4.