ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
Ένα σημείο Μ στο
επίπεδο μπορεί να
παρασταθεί με
μοναδικό τρόπο από δύο
αριθμούς (r, θ), όπου r η
απόστασή του Μ από
την αρχή των αξόνων και θ [0,
2π) η
γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του
άξονα των x και της
ευθείας που
διέρχεται από την αρχή
των αξόνων και από το Μ.
Οι αριθμοί r, θ
θα λέγονται πολικές συντεταγμένες
του Μ.
Αν το Α έχει καρτεσιανές
συντεταγμένες (x, y) και
πολικές συντεταγμένες
(r, θ),
ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις

Ο δίσκος με
κέντρο την αρχή και
ακτίνα 1 περιγράφεται από την ανισότητα r
£ 1.
Θεώρημα: Έστω
Π η περιοχή στο xy-επίπεδο
που περιγράφεται από τις
ανισότητες
a £ θ
£
b, c £
r £ d
και Δ το ορθογώνιο
παραλληλόγραμμο που
επίσης περιγράφεται από
τις παραπάνω ανισότητες
αλλά αυτή τη φορά στο rθ-επίπεδο.
Έστω f μια
φραγμένη συνάρτηση
ορισμένη στο Π η οποία
είναι συνεχής στο Π
εκτός ίσως από
ένα πεπερασμένο αριθμό από καμπύλες. Αν
f0(r, θ) = f(x, y) =
f(rcosθ, rsinθ),
τότε η f0
είναι ολοκληρώσιμη στο
Δ
και

Παρατήρηση: Το
παραπάνω θεώρημα ισχύει και στην περίπτωση
περιοχών που περιγράφονται από πιο
σύνθετες ανισότητες.
Έστω γ, δ δύο συναρτήσεις
ορισμένες στο
διάστημα [α, β] με 0 £
γ(θ) £ δ(θ).
Θεωρούμε την περιοχή Π στο xy-επίπεδο
που αποτελείται από τα σημεία των οποίων οι
πολικές συντεταγμένες
ικανοποιούν τις
σχέσεις
α £ θ
£ β,
0 £ γ(θ) £
r £ δ(θ).
Αν Π0 είναι
η περιοχή στο rθ-επίπεδο
που περιγράφουν οι παραπάνω
ανισότητες, τότε
Ασκήσεις
1. Να βρείτε το σύνολο των
σημείων στο xy-επίπεδο
που ικανοποιούν
την
σχέση
r
= acosθ, a>0.
2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
της συνάρτησης f(x, y) =
xy2 πάνω στην περιοχή Π
που περιγράφεται από τις
ανισότητες
x
³ 0, x2 + y2 ³
1, x2 + y2 £ 4.
|