ορια θ. ισοσυγκλισης

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΑΕΙ
...ο συντομότερος δρόμος για το πτυχίο

Τηλ. Επικοινωνίας 6993329599

ΦΟΙΤΗΤΙΚΑ-ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΕΙ, ΑΤΕΙ, ΕΑΠ, ΕΜΠ, ΚΟΛΛΕΓΙΑ, UK UNIVERSITIES EXAMS, EPSO, ΑΣΕΠ, ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ
Καλώς ήλθατε στη Διάκριση. Ο Βασίλης Μπάκας, Mathematics Specialist, Msc in Finance-Συγγραφέας διδάσκει σε ιδιαίτερα ή γκρουπ φοιτητές και μαθητές με υψηλές απαιτήσεις και στόχους , και βοηθάει nulli secundus στην λύση εργασιών. Δημιουργούμε VIDEO ON DEMAND και επιμελούμαστε μια πληθώρα σελίδων, δωρεάν άρθρων online, VIDEO για φοιτητές ΕΑΠ, ΕΜΠ, ΑΕΙ, ΑΤΕΙ, Κατατακτηριες εξετασεις, ΑΣΕΠ για Μαθηματικούς, υλικό που προάγει την έρευνα στα μαθηματικά.

Xαίρομαστε πραγματικά με τις επιτυχίες των φοιτητών μας, έστω και αν κάποιες φορές οδηγούμαστε σε "extreme" καταστάσεις, όπως για παράδειγμα ο φοιτητής ενος Αγγλικού Πανεπιστημίου, που τον κάλεσαν (πανικόβλητο είναι αλήθεια) απο την πρυτανεία ως μαθηματικό ταλέντο, όταν του λύσαμε ενα εξαιρετικά δύσκολο όριο μέσα σε μια homework, τη στιγμή που θεωρούσαν οι καθηγητές του οτι μπορούσε να λυθεί μόνο με Matlab!! (εξειδικευμένο υπολογιστικό software)

Δείτε τα ΜATHS YOUTUBE VIDEOS , που αφορούν Analysis, Algebra, Probabilities, Statistics, Mathematics Competitions ( Putnam), για London University, Imperial College, Cambridge and Oxford Universities exams, SAT, GRE, A level, Group Theory, Number Theory, Complex Analysis, Functional Analysis, Mechanics, Geometry, Operational Recearch, Financial and Money Mathematics, Derivatives κα.

Επίσης θα δείτε σε VIDEO λύσεις απο θέματα ΕΑΠ, ΑΣΟΕΕ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ, ΦΥΣΙΚΟ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΔΩΡΕΑN και δεκάδες σελίδες με προχωρημένες μαθηματικές μεθοδολογίες στα LINKS αριστερά της σελίδας. . O κ. Μπάκας είναι συγγραφέας των βιβλίων

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΣΕΠ( τ. 1, 2)

MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΕΑΠ

Home
μαθηματα Online
(ΝΕΟ)MATHS YOUTUBE VIDEOS
DVD-VIDEO ON DEMAND
Ανοικτο Πανεπιστημιο
Tutoring for International colleges and Universities
Ιnternational Baccalaureate DP IB
κατατακτηριες εξετασεις
Γιατι Online μαθηματα
EPSO exams
distance learning
κατατακτηριες ν. 2005
Μηχ.Παρ.Διοικ.. Κρητης
ποιοι ειμαστε
ΛΥΚΕΙΟ-ΕΠΑΡΧΙΑ
Οδηγιες για εξετασεις
Μαθ/τα ΤΟΠΑ, Δημ. Διοικηση
κουιζ για ΕΑΠ
Ολοκληρωματα δυσκολα
Φυσικο Αθηνας
Ο ιδανικος καθηγητης
νεο quizgame
παραγωγος διαν. συναρτησης
διπλα ολοκληρωματα
συναρτηση δυναμικου
μηκος καμπυλης
παραγωγος συναρτησης
Ασκηση σε ομοιομ. συνεχεια
ασκησεις παραγωγων
ασκ. αναλυσης1
ασκ. αναλυσης2
κυρτα κοιλα
εξωτερικο γινομενο
ασκησεις γραμμικης αλγεβρας
εξισωσεις frenet
πολλ/τες Lagrange
ασκηση Taylor
γενικευμενος τυπος TAYLOR
επιφανειακα ολοκληρωματα
ακροτατα πολλων μεταβλητων
θεωρημα Peano lindeloff
γραμμικες ΔΕ ανωτερης ταξης
διαφορικες εξισωσεις Clairaut
Θεηρημα Rolle θεωρημα μεσης τιμης
ακροτατα πανω σε καμπυλη
διμεταβλητη κανονικη κατανομη
μετασχηματισμος Laplace
θεωρημα προσεγγισης
Πινακας μετ/μου Laplace
κανονικο διανυσμα επιφανειας
Διαφορικες εξισωσεις Bernoulli
ασκηση αναλυσης
διαγωνισιμες απεικονισεις
ασκησεις στις πιθανοτητες
Gram Schmidt
μεγεθη-προγραμμα εαπ πληροφοριες
ασκηση μεγιστου ελαχιστου
χι-τετραγωνο test
ισομετριες
θεμα ΕΜΠ μηχανικη
Υπαρξη λυσεων δε 1ης ταξης
γραμμικοι τελεστες
ακτινικες δυναμεις
ακριβεις διαφορικες εξισωσεις
γραμμικος προγραμματισμος
ορισμος διαφορικων εξισωσεων
δεσμευμενη πιθανοτητα
ασκηση αλγεβρας
τυπος Taylor
μειωση ταξης ομογενους ΔΕ
κανονας l hospital
ομοιομορφη συνεχεια
μη ομογενεις γραμμικες ΔΕ αν.ταξης
εμβαδο επιφανειας στο χωρο
πολλαπλασιαστης Euler
μερικες παραγωγοι
αποκλιση στροβιλισμος div curl
συγκλιση ακολουθιων σε ευκ. χωρο
διαφορικη εξισωση Euler n ταξης
τριπλα ολοκληρωματα
ομογενεις ΓΔΕ αν. ταξης
παραμ/κη εξισ. ευθειας επιπεδου
ορια θ. ισοσυγκλισης
θεωρημα Stokes
διπλα ολοκληρωματα
θωρημα green ασκηση
ασκηση στα ορια
μεθοδος προσδ/τεων συντελεστων
θ. αποκλισης σε επιπεδοι-χωρο
παραγωγος κατα κατευθυνση
εφ/νο επιπεδο επιφανειας
εσωτερικο γινομενο
Λυση γραμμικης ΔΕ ν ταξης
ΔΕ χωριζομενων μεταβλητων
γραμμικες διαφορικες εξ.
εξισωσεις Lagrange
ομογενεις διαφορικες εξισωσεις
ασκησεις πιθανοτητες
ακριβεις διαφορικές εξισωσεις
μεθοδος συντελ. Lagrange
Picard προσεγγισεις
ΔΕ αναγ/νες σε ομογενεις
επικαμπυλιο ολοκληρωμα
αρμονικη σειρα
εξισωσεις frenet
σειρες fourier βασικες εννοιες
ιδιοτιμες ιδιοδιανυσματα
θεωρημα green
θεωρημα ολ. πιθανοτητας
ασκηση ελαχ. πολυωνυμο
πολλαπλος anova
ΔΕ Riccatti
ΔΕ Εuler
Ομογενεις ΔΕ 2ης ταξης
Συνελιξη
Ρητα ολοκληρωματα
ακτινα καμπυλοτητας
Υπολογισμος ιδιοτιμων

ΛΥΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΙΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΣΟΣΥΓΚΛΙΣΗΣ

1. Δ.ο. $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {\ αμαρτία Χ \ άνω του Χ} = 0}$

Απάντηση

$αμαρτία Χ \ LE -1 $ \ LE \ +1 $$

λόγω των γνωστών ιδιοτήτων του ημιτόνου. Δεδομένου ότι υπολογίζουμε το όριο καθώς το Χ πηγαίνει στο άπειρο, είναι λογικό να υποθέσει κανείς οτι το Χ > 0. Κατά συνέπεια,

$$ $ \ displaystyle {{-1 \ άνω του Χ} \ LE {\ αμαρτία Χ \ άνω του Χ} \ LE {1 \ άνω του Χ}}$ . 2

Αλλά

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {-1 \ άνω του Χ} = 0 = \ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {1 \ άνω του Χ}}$ ,

οπότε προκύπτει από το θεώρημα ισοσύγκλισης οτι

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {\ αμαρτία Χ \ άνω του Χ} = 0}$ .

2 . Δ.οτι ισχύει $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {2 - \ μαρούλι Χ \ πέρα από x+3} = 0}$

Απάντηση

$μαρούλι Χ \ LE -1 $ \ LE \ +1 $$

λόγω των γνωστών ιδιοτήτων της συνάρτησης συνημιτόνου. Τώρα πολλαπλασιάζουμε με -1, και έχουμε

$+1 \ Γερμανία - \ μαρούλι Χ \ Γερμανία -1$

$-1 \ LE $ - \ μαρούλι Χ \ LE +1 $$ . αρα και $1 \ LE 2 - \ μαρούλι Χ \ LE 3$ .

Δεδομένου ότι υπολογίζουμε το όριο καθώς το Χ πηγαίνει στο άπειρο, είναι λογικό να υποθέσουμε οτι Χ + 3 > 0. Κατά συνέπεια,

$$ $ \ displaystyle {{1 \ πέρα από x+3} \ LE {2 - \ μαρούλι Χ \ πέρα από x+3} \ LE {3 \ πέρα από x+3}}$ .

Αλλά εφόσον ισχύει

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {1 \ πέρα από x+3} = 0 = \ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {3 \ πέρα από x+3}}$ ,

προκύπτει από το Θεώρημα ισοσύγκλισης οτι

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {2 - \ μαρούλι Χ \ πέρα από x+3} = 0}$ .

3. Δειξτε οτι $\ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {\ cos^2 (2x) \ πέρα από 3-2x} = 0}$

Απάντηση

$μαρούλι -1 $ \ LE \ (2x) \ LE +1 $$

λόγω των γνωστών ιδιοτήτων του συνημιτόνου, και επομένως

$0 \ LE \ cos^2 (2x) \ LE +1$ .

Δεδομένου ότι αναζητούμε το όριο καθώς το Χ πηγαίνει στο άπειρο, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι 3 - 2x < 0. Διαιρούμε κάθε μέλος με 3 - 2x, που αντιστρέφει τις ανισότητες και παίρνουμε

$$ $ \ displaystyle {{0 \ πέρα από 3-2x} \ Γερμανία {\ cos^2 (2x) \ πέρα από 3-2x} \ Γερμανία {1 \ πέρα από 3-2x}}$ ,

$$ $ \ displaystyle {{1 \ πέρα από 3-2x} \ LE {\ cos^2 (2x) \ πέρα από 3-2x} \ LE 0}$ .

Αλλά

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {1 \ πέρα από 3-2x} = 0 = \ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ 0}$ ,

προκύπτει από Θ.Ι. οτι

$\ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {\ cos^2 (2x) \ πέρα από 3-2x} = 0}$ .

4. Δ. οτι $μαρούλι \ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ 0^ {-}} \ x^3 \ μεγάλο ({2 \ άνω του Χ} \ μεγάλο) = 0} $$

Απάντηση

Το $μεγάλο ({2 \ άνω του Χ} \ μεγάλο)} $ μαρουλιών \ \ \ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ 0^ {-}}$ ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ αφού οι τιμές του $$ $ \ displaystyle {\ μαρούλι \ μεγάλο ({2 \ άνω του Χ} \ μεγάλο)}$ ταλαντώνονται μεταξύ -1 και +1 οταν πλησιάζουμε το 0 από αριστερά. Εντούτοις, αυτό δεν σημαίνει απαραιτήτως οτι και το $$ \ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ 0^ {-}} {x^3 μαρούλι \ \ μεγάλο ({2 \ άνω του Χ} \ μεγάλο)}}$ δεν υπάρχει! Πράγματι, x³ < 0 και

$$ $ \ displaystyle {-1 \ LE \ μαρούλι \ μεγάλο ({2 \ άνω του Χ} \ μεγάλο) \ LE +1}$

για Χ < 0. Πολλαπλασιάζουμε με x³, και έχουμε

$$ $ \ displaystyle {- x^3 μαρούλι \ \ Γερμανία x^3 \ μεγάλο ({2 \ άνω του Χ} \ μεγάλο) \ Γερμανία x^3}$

$\ displaystyle {x^3 \ LE x^3 \ μαρούλι \ μεγάλο ({2 \ άνω του Χ} \ μεγάλο) \ LE - x^3}$ .

Αλλά

$$ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ 0^ {-}} \ x^3 = 0 = {Χ \ 0^ {-}} \ \ {- x^3 \}} $ \ lim_$ ,

οπότε προκύπτει απο ΘΙ οτι

$μαρούλι \ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ 0^ {-}} \ x^3 \ μεγάλο ({2 \ άνω του Χ} \ μεγάλο) = 0} $$ .

5. Δ.οτι $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {x^2 (2 + \ sin^2 Χ) \ άνω των x+100}}$ = $infty $ $ \$
Απάντηση

Δεδομένου οτι

$αμαρτία Χ \ LE -1 $ \ LE \ +1 $$ ,

αρα

$0 \ LE \ sin^2 Χ \ LE 1$

και

$2 \ LE 2 + \ sin^2 Χ \ LE 3$ .

Επιπλέον δεδομένου ότι υπολογίζουμε το όριο καθώς το Χ τείνει στο άπειρο, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι x+100 > 0. Κατά συνέπεια, διαιρώντας με x+100 και πολλαπλασιάζοντας με x², παίρνουμε

$$ $ \ displaystyle {{2 \ πέρα από Χ + 100} \ LE {2 + \ sin^2 Χ \ πέρα από Χ + 100} \ LE {3 \ πέρα από Χ + 100}}$

και

$$ $ \ displaystyle {{2 x^2 \ πέρα από Χ + 100} \ LE {x^2 (2 + \ sin^2 Χ) \ πέρα από Χ + 100} \ LE {3x^2 \ πέρα από Χ + 100}}$ .

Κατόπιν

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {2x^2 \ άνω των x+100}}$ = $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {2x^2 \ άνω των x+100} \ {\ displaystyle {1 \ άνω του Χ} \ άνω των \ displaystyle {1 \ άνω του Χ}}}$

= $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {2x \ άνω των 1 + \ displaystyle {100 \ άνω του Χ}}}$

= $$ $ \ displaystyle {\ infty \ άνω των 1 + 0}$

= $infty $ $ \$ .

Ομοίως,

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {3x^2 \ άνω των x+100}}$ = $infty $ $ \$ .

Κατά συνέπεια, απο ΘΙ

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε \ infty} \ {x^2 (2 + \ sin^2 Χ) \ άνω των x+100}}$ = $infty $ $ \$ .

6. Να δείξετε οτι $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {5x^2 - στην αμαρτία \ (3x) \ άνω των x^2+10}}$ =5

Απάντηση

Εχουμε

$αμαρτία -1 $ \ LE \ (3x) \ LE +1 $$ ,

έτσι ώστε

$-1 \ LE $ - αμαρτία \ (3x) \ LE +1 $$ ,

$-1 \ LE 5x^2 $ 5x^2 - αμαρτία \ (3x) \ LE 5x^2 + 1 $$ ,

και

$$ $ \ displaystyle {{5x^2-1 \ πέρα από x^2 + 10} \ LE {5x^2 - αμαρτία \ (3x) \ πέρα από x^2 + 10} \ LE {5x^2 +1 \ πέρα από x^2 + 10}}$ .

Κατόπιν

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {5x^2 - σε 1 \ άνω των x^2+10}}$

= $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {5x^2 - σε 1 \ άνω των x^2+10} \ {\ displaystyle {1 \ πέρα από x^2} \ άνω των \ displaystyle {1 \ πέρα από x^2}}}$

= $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {5 - σε \ displaystyle {1 \ πέρα από x^2} \ άνω των 1 + \ displaystyle {10 \ πέρα από x^2}}}$

= $$ $ \ displaystyle {5 - 0 \ άνω των 1 + 0}$

= 5.

Ομοίως,

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {5x^2 + 1 \ άνω των x^2+10}}$ = 5.

Κατά συνέπεια, προκύπτει από ΘΙ οτι

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {5x^2 - στην αμαρτία \ (3x) \ άνω των x^2+10}}$ = 5.

7. Δ. οτι $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {x^2 (\ αμαρτία Χ + \ cos^3 Χ) \ πέρα από (x^2+1) (Χ-3)}}$ =0

Απάντηση

Αρχικά ισχύει

$αμαρτία Χ \ LE -1 $ \ LE \ +1 $$

και

$μαρούλι Χ \ LE -1 $ \ LE \ +1 $$ ,

έτσι ώστε

$-1 \ LE \ cos^3 Χ \ LE $ +1 $$

και

$αμαρτία Χ -2 $ \ LE \ + \ cos^3 Χ \ LE +2 $$ .

Δεδομένου ότι υπολογίζουμε το όριο καθώς το Χ πηγαίνει στο μείον άπειρο, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι Χ-3 < 0. Κατά συνέπεια, διαιρώντας με Χ-3, παίρνουμε

$$ $ \ displaystyle {{-2 \ άνω των Χ-3} \ Γερμανία {\ αμαρτία Χ + \ cos^3 Χ \ άνω των Χ-3} \ Γερμανία {2 \ άνω των Χ-3}}$

$$ $ \ displaystyle {{2 \ άνω των Χ-3} \ LE {\ αμαρτία Χ + \ cos^3 Χ \ άνω των Χ-3} \ LE {-2 \ άνω των Χ-3}}$ .

Τώρα διαιρούμε με x² + 1 και πολλαπλασιάζουμε με x² οπότε

$$ $ \ displaystyle {{2 x^2 \ πέρα από (x^2 + 1) (Χ-3)} \ LE {x^2 (\ αμαρτία Χ + \ cos^3 Χ) \ πέρα από (x^2 + 1) (Χ-3)} \ LE {-2x^2 \ πέρα από (x^2 + 1) (Χ-3)}}$ .

Κατόπιν

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {2 x^2 \ πέρα από (x^2+1) (Χ-3)}}$

= $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {2 x^2 \ πέρα από x^3 - 3x^2 + Χ - 3}}$

= $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {2 x^2 \ πέρα από x^3 - 3x^2 + Χ - 3} \ {\ displaystyle {1 \ πέρα από x^3} \ άνω των \ displaystyle {1 \ πέρα από x^3}}}$

= $$ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {\ displaystyle {2 \ άνω του Χ} \ άνω των 1 -…… 3 \ άνω του Χ} + \ displaystyle {1 \ πέρα από x^2} - displaystyle {3 \ πέρα από x^3}}} $ \$

= $$ $ \ displaystyle {0 \ άνω των 1 - 0 + 0 - 0}$

= 0.

Ομοίως,

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {-2 x^2 \ πέρα από (x^2+1) (Χ-3)}}$ = 0.

Προκύπτει από την αρχή συμπιέσεων αυτή

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ - \ infty} \ {x^2 (\ αμαρτία Χ + \ cos^3 Χ) \ πέρα από (x^2+1) (Χ-3)}}$ = 0.

8. Δ. οτι $\ displaystyle {\ lim_ {\ θήτα \ 0^ {+}} \ {\ θήτα \ αμαρτίας \ πέρα από το θήτα \}} = 1$

Απάντηση

α.) Παρατηρούμε οτι

εμβαδόν του τριγώνου OAD < εμβαδού του τομέα OAC < εμβαδού του τριγώνου OBC.

Το εμβαδόν του τριγώνου OAD είναι

$$ $ \ displaystyle {1 \ άνω των 2}$ (βάση) (ύψος) $= \ displaystyle {1 \ άνω των 2} (\ θήτα μαρουλιών \) (\ θήτα αμαρτίας \)$ .

Ομοίως του τομέα OAC είναι

$$ $ \ displaystyle {\ θήτα \ άνω των 2 \ pi}$ (εμβαδόν του κύκλου) $$ = \ displaystyle {\ θήτα \ άνω των 2 \ pi} (\ pi (1)^2) = displaystyle {\ θήτα \ άνω των 2} $ \$ .

Το εμβαδόν του τριγώνου OBC είναι

$$ $ \ displaystyle {1 \ άνω των 2}$ (βάση) (ύψος) $$ = \ displaystyle {1 \ άνω των 2} (1) (\ θήτα μαυρίσματος \) = displaystyle {1 \ άνω των 2} \ displaystyle {\ θήτα \ αμαρτίας \ πέρα από \ το θήτα μαρουλιών \} $ \$ .

Ακολούθως έχουμε

$$ \ displaystyle {1 \ άνω των 2} (\ θήτα μαρουλιών \) (\ θήτα αμαρτίας \) < \ displaystyle {θήτα \…… < displaystyle {1 \ άνω των 2} \ displaystyle {\ θήτα \ αμαρτίας \ πέρα από \ το θήτα μαρουλιών \} $ \$

$$ (\ θήτα μαρουλιών \) (\ θήτα αμαρτίας \) < θήτα \ < displaystyle {\ θήτα \ αμαρτίας \ πέρα από \ το θήτα μαρουλιών \} $ \$ .

β.) αν $0 $ < θήτα \ < displaystyle {\ pi \ άνω των 2} $ \$ , τότε $θήτα αμαρτίας \ $ \ > 0 $$ και $θήτα μαρουλιών \ $ \ > 0 $$ , έτσι ώστε διαιρώντας με $$ θήτα αμαρτίας \ $ \$ την τελευταία σχέση παίρνουμε

$θήτα μαρουλιών \ < \ $ \ displaystyle {\ θήτα \ πέρα από \ το θήτα αμαρτίας \} < displaystyle {1 \ πέρα από \ το θήτα μαρουλιών \} $ \$ .

Η λήψη των αντιστρόφων αυτών των θετικών ποσοτήτων δίνει

$$ \ displaystyle {1 \ πέρα από \ το θήτα μαρουλιών \} > \ displaystyle {\ θήτα \ αμαρτίας \ πέρα από το θήτα \} > \ $ θήτα μαρουλιών \$

$θήτα μαρουλιών \ < \ $ \ displaystyle {\ θήτα \ αμαρτίας \ πέρα από το θήτα \} < displaystyle {1 \ πέρα από \ το θήτα μαρουλιών \} $ \$ .

τότε

$$ \ displaystyle {\ lim_ {\ θήτα \ 0^ {+}} \ {\ θήτα μαρουλιών \}} = \ μαρούλι 0 = 1 = displaystyle {\ lim_ {\ θήτα \ 0^ {+}} \ \ μεγάλο ({1 \ πέρα από \ το θήτα μαρουλιών \} \ μεγάλο)} $ \$ ,

και προκύπτει από ΘΙ οτι

$\ displaystyle {\ lim_ {\ θήτα \ 0^ {+}} \ {\ θήτα \ αμαρτίας \ πέρα από το θήτα \}} = 1$ .

10. Δίνεται η φ(x)= x² sin(1/x), an x≠0 και φ(x)=0, an x=0. Να εξεταστεί αν η φ είναι συνεχήε στο 0.

Απάντηση

Ι.) το φ (0) ορίζεται,

ΙΙ.) $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε 0} φ (Χ)}$ υπάρχει,

και

ΙΙΙ.) $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε 0} φ (Χ) = φ (0)}$ .

δίνεται οτι

Ι.) φ (0) = 0.

Χρησιμοποιούμε ΘΙ για να βρούμε το $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε 0} φ (Χ)}$ . Επειδή $Χ ΝΕ \ 0$ ξέρουμε οτι

$αμαρτία \ μεγάλο (\ displaystyle {1 \ άνω του Χ} \ μεγάλο) \ LE -1 $ \ LE \ +1 $$ ,

έτσι ώστε

$- x^2 \ LE x^2 \ αμαρτία \ μεγάλο (\ displaystyle {1 \ άνω του Χ} \ μεγάλο) \ LE x^2$ .

Από αυτό προκύπτει

$$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε 0} (- x^2) = 0 = \ lim_ {Χ \ σε 0} x^2}$

και απο ΘΙ

ΙΙ.) $\ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε 0} φ (Χ)} = \ displaystyle {αμαρτία \ \ lim_ {Χ \ σε 0} \ x^2 \ μεγάλη (\ displaystyle {1 \ άνω του Χ} \ μεγάλο)} = 0$ .

Τέλος,

ΙΙΙ.) $$ $ \ displaystyle {\ lim_ {Χ \ σε 0} φ (Χ) = 0 = φ (0)}$ ,

επιβεβαιώνοντας ότι η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο x=0.

ΛΥΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΙΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΣΟΣΥΓΚΛΙΣΗΣ

Διάκριση φροντιστήρια ΑΕΙ

Για ιδιαίτερα μαθήματα επικοινωνήστε στο

6993329599

email vmpak@yahoo.gr

Web design/Content: Internet Team

© all rights reserved
Last modified: January 28, 2020

ΛΥΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΙΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΣΟΣΥΓΚΛΙΣΗΣ

Διάκριση φροντιστήρια ΑΕΙ Για ιδιαίτερα μαθήματα επικοινωνήστε στο 6993329599 email vmpak@yahoo.gr Web design/Content: Internet Team

© all rights reserved Last modified: January 28, 2020

Διάκριση φροντιστήρια ΑΕΙ

Για ιδιαίτερα μαθήματα επικοινωνήστε στο

6993329599

email vmpak@yahoo.gr

Web design/Content: Internet Team

© all rights reserved
Last modified: January 28, 2020