ΔΙΑΚΡΙΣΗ BLOG Οnline μαθήματα IB, EPSO ή Degree Level Maths and Economics, GCSE AS/A Level, GRE, SAT, STEP, MAT, Aptitude tests.
Για
απορίες στείλτε μήνυμα
στο kappas665-1@yahoo.gr
Δείτε τα ΜAΘΗΜΑΤΙΚΑ VIDEO στο Youtube , που αφορούν Aνάλυση, Αλγεβρα, Πιθανότητες, Στατιστική, Mαθηματικούς Διαγωνισμούς ( Putnam), για London University, Imperial College, Cambridge and Oxford Universities, SAT, GRE, A level, Θεωρία Ομάδων, Θεωρία Αριθμών, Μιγαδική Ανάλυση, Συναρτησιακή Ανάλυση, Mηχανική, Γεωμετρία, Επιχειρησιακή Ερευνα, Οικονομικά Μαθηματικά, Παράγωγα Χρηματοοικονομικά προιόντα κα.
|
|
ΛΥΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΙΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΣΟΣΥΓΚΛΙΣΗΣ
1. Δ.ο. ![]()
Απάντηση
λόγω των γνωστών ιδιοτήτων του ημιτόνου. Δεδομένου ότι υπολογίζουμε το όριο καθώς το Χ πηγαίνει στο άπειρο, είναι λογικό να υποθέσει κανείς οτι το Χ > 0. Κατά συνέπεια,
Αλλά
οπότε προκύπτει από το θεώρημα ισοσύγκλισης οτι
2
.
Δ.οτι ισχύει
Απάντηση
λόγω των γνωστών ιδιοτήτων της συνάρτησης συνημιτόνου. Τώρα πολλαπλασιάζουμε με -1, και έχουμε
ή
Δεδομένου ότι υπολογίζουμε το όριο καθώς το Χ πηγαίνει στο άπειρο, είναι λογικό να υποθέσουμε οτι Χ + 3 > 0. Κατά συνέπεια,
Αλλά εφόσον ισχύει
προκύπτει από το Θεώρημα ισοσύγκλισης οτι
3.
Δειξτε οτι
Απάντηση
λόγω των γνωστών ιδιοτήτων του συνημιτόνου, και επομένως
Δεδομένου ότι αναζητούμε το όριο καθώς το Χ πηγαίνει στο άπειρο, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι 3 - 2x < 0. Διαιρούμε κάθε μέλος με 3 - 2x, που αντιστρέφει τις ανισότητες και παίρνουμε
ή
Αλλά
προκύπτει από Θ.Ι. οτι
4. Δ. οτι
Απάντηση
Το
για Χ < 0. Πολλαπλασιάζουμε με x3, και έχουμε
ή
Αλλά
οπότε προκύπτει απο ΘΙ οτι
5.
Δ.οτι
Δεδομένου οτι
αρα
και
Επιπλέον δεδομένου ότι υπολογίζουμε το όριο καθώς το Χ τείνει στο άπειρο, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι x+100 > 0. Κατά συνέπεια, διαιρώντας με x+100 και πολλαπλασιάζοντας με x2, παίρνουμε
και
Κατόπιν
=
=
=
Ομοίως,
Κατά συνέπεια, απο ΘΙ
6. Να δείξετε οτι
Απάντηση
Εχουμε
έτσι ώστε
και
Κατόπιν
=
=
=
= 5. Ομοίως,
Κατά συνέπεια, προκύπτει από ΘΙ οτι
7. Δ. οτι
Απάντηση
Αρχικά ισχύει
και
έτσι ώστε
και
Δεδομένου ότι υπολογίζουμε το όριο καθώς το Χ πηγαίνει στο μείον άπειρο, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι Χ-3 < 0. Κατά συνέπεια, διαιρώντας με Χ-3, παίρνουμε
ή
Τώρα διαιρούμε με x2 + 1 και πολλαπλασιάζουμε με x2 οπότε
Κατόπιν
=
=
=
=
= 0. Ομοίως,
Προκύπτει από την αρχή συμπιέσεων αυτή
8. Δ. οτι
Απάντηση
α.) Παρατηρούμε οτι εμβαδόν του τριγώνου OAD <
εμβαδού του τομέα OAC < εμβαδού του τριγώνου OBC.
Το εμβαδόν του τριγώνου OAD είναι
Ομοίως του τομέα OAC είναι
Το εμβαδόν του τριγώνου OBC είναι
Ακολούθως έχουμε
ή
β.) αν
Η λήψη των αντιστρόφων αυτών των θετικών ποσοτήτων δίνει
ή
τότε
και προκύπτει από ΘΙ οτι
10. Δίνεται η φ(x)= x2 sin(1/x), an x≠0 και φ(x)=0, an x=0. Να εξεταστεί αν η φ είναι συνεχήε στο 0.
Απάντηση
Ι.) το φ (0) ορίζεται, ΙΙ.)
και ΙΙΙ.)
δίνεται οτι Ι.) φ (0) = 0. Χρησιμοποιούμε ΘΙ για να βρούμε
το
έτσι ώστε
Από αυτό προκύπτει
και απο ΘΙ ΙΙ.)
Τέλος, ΙΙΙ.)
επιβεβαιώνοντας ότι η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο x=0.
|