ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ
Έστω
U
Rn ένα ανοικτό σύνολο.
Ένα διανυσματικό πεδίο στο U είναι μια
συνάρτηση F : U ® Rn. Mια
συνάρτηση f : U ® R θα
λέγεται συνάρτηση δυναμικού της F αν
F(χ) = grad f(χ) για κάθε χ στο U.
Έστωσαν
A, B σημεία του U.
Λέμε ότι τα Α, Β ενώνονται
με μία καμπύλη αν υπάρχει διαφορίσιμη
καμπύλη C: [a, b]®
U ώστε C(a) = A, C(b) = B.
To U λέγεται συνεκτικό
αν κάθε δύο σημεία του
ενώνονται
με μια καμπύλη στο U.
Θεώρημα :
Δίνονται δύο συναρτήσεις f, g
στο ανοικτό συνεκτικό U
με
gradf(x)= gradg(x)
για κάθε x στο U.
Τότε υπάρχει σταθερά λ ώστε f(Χ)
= g(Χ) + λ
για κάθε x στοU.
Θεώρημα :
Έστω f,
g δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις
με συνεχείς μερικές
παραγώγους στο U R2.
Aν

τότε το πεδίο F(x, y) = (f(x, y), g(x, y))
δεν
έχει συνάρτηση δυναμικού.
Θεώρημα :
Έστω f,
g δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις
με συνεχείς μερικές
παραγώγους σε ένα ορθογώνιο
παραλληλόγραμμο στο
R2. Aν

τότε το πεδίο F(x, y) = (f(x, y), g(x, y))
έχει
συνάρτηση δυναμικού.
μπορούμε να αποδείξουμε ότι όταν οι
f,
g, h είναι ορισμένες σε
ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στον R3
τότε για να έχει το πεδίο F
= (f, g, h) συνάρτηση δυναμικού
πρέπει να ισχύουν οι συνθήκες
Ασκήσεις
1. Ποιά από
τα παρακάτω δ.π. έχουν
συνάρτηση δυναμικού στο U=R2;
(3x2+4y2+6, 4xy), (x2y+1, y2x), exy(2xy+yx2,
yx3)
2. Έστω r = || X || και
g μια παραγωγίσιμη
συνάρτηση δύο μεταβλητών.
Να
δείξετε ότι το δ.π.

ορισμένο στο R2 \ {0} έχει
συνάρτηση δυναμικού.
|