ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ
Έστω
U 
Rn ένα ανοικτό σύνολο.
Ένα διανυσματικό πεδίο στο U είναι μια
συνάρτηση F : U ® Rn. Mια
συνάρτηση f : U ® R θα
λέγεται συνάρτηση δυναμικού της F αν
F(χ) = grad f(χ) για κάθε χ στο U.
Έστωσαν A, B σημεία του U. Λέμε ότι τα Α, Β ενώνονται με μία καμπύλη αν υπάρχει διαφορίσιμη καμπύλη C: [a, b]® U ώστε C(a) = A, C(b) = B.
To U λέγεται συνεκτικό αν κάθε δύο σημεία του ενώνονται με μια καμπύλη στο U.
Θεώρημα : Δίνονται δύο συναρτήσεις f, g στο ανοικτό συνεκτικό U με
gradf(x)= gradg(x) για κάθε x στο U. Τότε υπάρχει σταθερά λ ώστε f(Χ) = g(Χ) + λ για κάθε x στοU.
Θεώρημα :
Έστω f,
g δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις
με συνεχείς μερικές
παραγώγους στο UR2.
Aν
τότε το πεδίο F(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) δεν έχει συνάρτηση δυναμικού.
Θεώρημα : Έστω f, g δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο R2. Aν
τότε το πεδίο F(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) έχει συνάρτηση δυναμικού.
μπορούμε να αποδείξουμε ότι όταν οι f, g, h είναι ορισμένες σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στον R3 τότε για να έχει το πεδίο F = (f, g, h) συνάρτηση δυναμικού πρέπει να ισχύουν οι συνθήκες
Ασκήσεις
1. Ποιά από τα παρακάτω δ.π. έχουν συνάρτηση δυναμικού στο U=R2;
(3x2+4y2+6, 4xy), (x2y+1, y2x), exy(2xy+yx2,
yx3)
2. Έστω r = || X || και
g μια παραγωγίσιμη
συνάρτηση δύο μεταβλητών.
Να
δείξετε ότι το δ.π.
ορισμένο στο R2 \ {0} έχει συνάρτηση δυναμικού.