ΤΟ ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Έστω
U
Rn
ανοικτό σύνολο, F: U ®
Rn διανυσματικό
πεδίο ( συντ. δ.π.) και
C : [a, b] ® Rn μια
καμπύλη στο U με συνεχή
πρώτη παράγωγο. Το
επικαμπύλιο
ολοκλήρωμα του δ.π. F πάνω
στην C ορίζεται ως
ακολούθως
Έστω Ci : [ai, ai+1] ® U, i = 1,2,...,n, πεπερασμένο σύνολο από καμπύλες με συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε το τελικό σημείο της Ci να είναι το ίδιο με το αρχικό σημείο της Ci+1. H απεικόνιση C : [a1, an+1] ® U λέγεται μονοπάτι. Ένα μονοπάτι θα λέγεται κλειστό αν C(a1) = C(an+1).
Έστω C ένα μονοπάτι. Η απεικόνιση C- : [a, b] ® U με C-(t) = C(a+b-t) λέγεται αντίστροφο μονοπάτι του C.
To oλοκλήρωμα του δ.π. F πάνω σε ένα μονοπάτι C : [a1, an+1] ® U είναι το
Θεώρημα : Έστω F: U ® Rn ένα διανυσματικό πεδίο και C : [a, b] ® Rn μια καμπύλη στο U. Τότε
Θεώρημα : Έστω ότι η f είναι συνάρτηση δυναμικού του δ.π. F στο U
( δηλαδή gradf = F) και C : [a, b] ® U ένα μονοπάτι με Α = C(a), B = C(b). Τότε
Παρατήρηση: Αν το μονοπάτι είναι κλειστό τότε
Έστω ότι υπάρχει ένα κλειστό μονοπάτι C τ.ω.
Τότε το δ.π. F δεν έχει συνάρτηση δυναμικού στο U.
Έπιπλέον στω ότι η F έχει συνάρτηση δυναμικού στο U και C1, C2 : [a, b] ® U δυο μονοπάτια στο U με C1(a) = C2(a), C1(b) = C2(b). Tότε
Θεώρημα : Έστω U τόπος, Α, Β σημεία του U και
F : U ® Rn ένα δ.π.. Αν το ολοκλήρωμα
είναι ανεξάρτητο του μονοπατιού που ενώνει τα Α, Β, τότε το δυναμικό.πεδίο. F έχει συνάρτηση δυναμικού στο U.
Θεώρημα : Έστω U τόπος, Α, Β σημεία του U και
F : U ® Rn ένα δ.π.. Αν το ολοκλήρωμα
ισούται με το μηδέν πάνω σε κάθε κλειστό μονοπάτι στο U, τότε το πεδίο F έχει συνάρτηση δυναμικού στο U.
Το θεώρημα που ακολουθεί εξασφαλίζει την ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού .
Θεώρημα : Έστω F : R2 \ {0} ® R2 ένα πεδίο, F = (f, g), με
Έστω επίσης C ο κύκλος με κέντρο την αρχή και ακτίνα 1. Τοτε
Αν
το πεδίο F επάγεται μια συνάρτηση δυναμικού.
Έστω
τότε υπάρχει συνάρτηση φ ώστε
F = ψG + gradφ
όπου
Aσκήσεις
1. Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του δ.π. F(x, y) = (xy, 2xy)
πάνω στην καμπύλη C(t) = (1, t), t στο [0, 1].
2. Έχει το διανυσματικό πεδίο
συνάρτηση δυναμικού στο R2 \ {0};