ΤΟ ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Έστω
U Rn
ανοικτό σύνολο, F: U ®
Rn διανυσματικό
πεδίο ( συντ. δ.π.) και
C : [a, b] ® Rn μια
καμπύλη στο U με συνεχή
πρώτη παράγωγο. Το
επικαμπύλιο
ολοκλήρωμα του δ.π. F πάνω
στην C ορίζεται ως
ακολούθως
Έστω
Ci : [ai,
ai+1] ® U, i = 1,2,...,n,
πεπερασμένο
σύνολο
από καμπύλες με
συνεχή πρώτη παράγωγο ώστε
το τελικό σημείο της Ci να
είναι το ίδιο με το αρχικό σημείο της Ci+1.
H απεικόνιση C : [a1, an+1]
® U λέγεται
μονοπάτι. Ένα
μονοπάτι θα λέγεται κλειστό αν
C(a1) = C(an+1).
Έστω
C ένα μονοπάτι.
Η απεικόνιση C- : [a,
b] ® U με C-(t)
= C(a+b-t) λέγεται αντίστροφο
μονοπάτι του
C.
To oλοκλήρωμα του δ.π. F πάνω
σε ένα μονοπάτι C : [a1, an+1] ®
U είναι το
Θεώρημα : Έστω F:
U ® Rn ένα
διανυσματικό πεδίο και C : [a, b] ®
Rn μια καμπύλη στο U.
Τότε

Θεώρημα : Έστω
ότι η f είναι
συνάρτηση δυναμικού του
δ.π. F στο
U
( δηλαδή gradf = F) και
C : [a, b] ® U ένα
μονοπάτι με Α = C(a), B =
C(b). Τότε
Παρατήρηση:
Αν το
μονοπάτι είναι κλειστό τότε

Έστω
ότι υπάρχει ένα κλειστό
μονοπάτι C τ.ω.
Τότε το δ.π.
F δεν έχει
συνάρτηση δυναμικού στο
U.
Έπιπλέον στω ότι η F
έχει συνάρτηση δυναμικού
στο U και C1, C2
: [a, b] ® U δυο
μονοπάτια στο U με C1(a)
= C2(a), C1(b) = C2(b). Tότε
Θεώρημα :
Έστω U
τόπος, Α,
Β σημεία του U
και
F : U ® Rn ένα
δ.π..
Αν
το ολοκλήρωμα
είναι ανεξάρτητο του μονοπατιού που
ενώνει τα Α, Β, τότε το δυναμικό.πεδίο. F έχει
συνάρτηση δυναμικού στο
U.
Θεώρημα :
Έστω U
τόπος, Α,
Β σημεία του U
και
F : U ® Rn ένα
δ.π..
Αν
το ολοκλήρωμα
ισούται με το μηδέν πάνω σε κάθε κλειστό
μονοπάτι στο
U, τότε το πεδίο F έχει
συνάρτηση δυναμικού στο
U.
Το θεώρημα που ακολουθεί εξασφαλίζει
την ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού
.
Θεώρημα : Έστω F
: R2 \ {0} ® R2 ένα
πεδίο, F = (f, g),
με
Έστω επίσης C ο κύκλος
με κέντρο την αρχή και
ακτίνα 1. Τοτε
Αν

το πεδίο
F
επάγεται μια συνάρτηση
δυναμικού.
Έστω
τότε υπάρχει συνάρτηση φ ώστε
F
= ψG + gradφ
όπου
Aσκήσεις
1. Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο
ολοκλήρωμα του δ.π. F(x, y) = (xy, 2xy)
πάνω στην
καμπύλη C(t) = (1, t), t
στο [0,
1].
2. Έχει το διανυσματικό πεδίο

συνάρτηση δυναμικού στο
R2
\ {0};
|