ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
Έστω U ανοικτό υποσύνολο στο R2, Ρ = (p1, p2) σημείο του U και f συνάρτηση στο U. Υποθέτουμε ότι η f έχει τοπικό ακρότατο στο P=(p1, p2). Τότε αφού
από ανάπτυγμα Taylor παίρνουμε
Μπορούμε να δείξουμε ότι επειδή στο R εμφανίζονται δυνάμεις των h, k μεγαλύτερες του 2 η συνεισφορά του R στο παραπάνω άθροισμα σε μια περιοχή στο Ρ δεν επηρεάζει το πρόσημο της τετραγωνικής μορφής
Παρατηρούμε ότι η f έχει τοπικό ελάχιστο , μέγιστο, σαγματικό στο Ρ αν και μόνο αν το q έχει ελάχιστο μέγιστο, σαγματικό αντίστοιχα στο (0, 0).
Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε την συμπεριφορά της q στο (0, 0).
Η γενική μορφή της q είναι η q(x, y)=ax2 + bxy + cy2 . Εστω ότι a > 0.
Μετά από πράξεις έχουμε
με Δ = b2 - 4ac, και αρα
Παρατηρούμε ότι για την q ισχύουν τα εξ'ης στο (0, 0)
Έτσι αν α > 0
1. Το Ρ είναι τοπικό ελάχιστο της f αν Δ = 0
2. Το Ρ είναι σαγματικό της f αν Δ > 0
3. Το Ρ είναι τοπικό ελάχιστο της f αν Δ < 0
και αν a < 0 το τοπικό ελάχιστο στις παραπάνω περιπτώσεις γίνεται τοπικό μέγιστο.
Αν a = 0 τότε εξετάζουμε το c.
Ασκήσεις
1. Να χαρακτηρίσετε την φύση του σημείου (0, 0) για τις τετραγωνικές μορφές
2x2 +5xy + y2, -4x2 + 3xy - y2, x2 + 2xy + y2
2. Nα ευρεθεί το πλησιέστερο στην αρχή σημείο του επιπέδου x + y – z = 2.
3. Έστω f : [a, b] ® R μια συνάρτηση τ.ω. f''(x)>0 για κάθε x στο [a, b]. Nα αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημείο μεγίστου στο (a, b).
4. Έστω Δ ο μοναδιαίος δίσκος {(x, y): x2 + y2 £ 1} και f : Δ ® R μια συνάρτηση τ.ω.
σε κάθε σημείο του εσωτερικού του Δ. Να αποδειχθεί ότι η f έχει ακρότατα μόνο στο σύνορο του Δ.