ΑΚΡΟΤΑΤΑ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
Έστω
U ανοικτό
υποσύνολο στο R2, Ρ
= (p1, p2) σημείο του U και f
συνάρτηση στο U. Υποθέτουμε
ότι η f έχει τοπικό
ακρότατο στο P=(p1, p2). Τότε
αφού

από ανάπτυγμα
Taylor παίρνουμε
Μπορούμε να δείξουμε ότι επειδή στο
R εμφανίζονται δυνάμεις
των h, k μεγαλύτερες
του 2 η συνεισφορά του R στο
παραπάνω άθροισμα σε μια περιοχή
στο Ρ
δεν
επηρεάζει το πρόσημο της τετραγωνικής
μορφής
Παρατηρούμε ότι η f
έχει τοπικό ελάχιστο
, μέγιστο, σαγματικό
στο Ρ αν
και μόνο αν το q έχει
ελάχιστο μέγιστο,
σαγματικό αντίστοιχα στο
(0, 0).
Αρκεί λοιπόν να μελετήσουμε την
συμπεριφορά της q
στο (0,
0).
Η γενική μορφή της
q είναι
η q(x, y)=ax2 + bxy + cy2 .
Εστω ότι a > 0.
Μετά από πράξεις
έχουμε
με Δ = b2 - 4ac, και
αρα
Παρατηρούμε ότι για την
q
ισχύουν τα εξ'ης
στο
(0, 0)
Έτσι
αν
α > 0
1. Το Ρ είναι τοπικό
ελάχιστο της f αν
Δ = 0
2. Το Ρ είναι σαγματικό
της f αν
Δ > 0
3. Το Ρ είναι τοπικό
ελάχιστο της f αν
Δ < 0
και αν
a < 0 το
τοπικό ελάχιστο στις παραπάνω
περιπτώσεις γίνεται
τοπικό μέγιστο.
Αν
a = 0 τότε
εξετάζουμε το c.
Ασκήσεις
1. Να χαρακτηρίσετε την φύση του
σημείου (0, 0) για τις τετραγωνικές
μορφές
2x2 +5xy + y2, -4x2 + 3xy - y2, x2
+ 2xy + y2
2. Nα
ευρεθεί το πλησιέστερο στην
αρχή σημείο του
επιπέδου x + y – z = 2.
3. Έστω
f : [a, b] ®
R μια συνάρτηση τ.ω. f''(x)>0
για κάθε x στο
[a, b]. Nα αποδείξετε ότι η
f δεν έχει σημείο μεγίστου
στο (a, b).
4. Έστω Δ ο μοναδιαίος δίσκος
{(x, y): x2 + y2 £ 1} και
f : Δ ® R
μια
συνάρτηση τ.ω.
σε κάθε σημείο του
εσωτερικού του Δ. Να αποδειχθεί ότι η f έχει
ακρότατα μόνο στο
σύνορο του Δ.
|