ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ
Δίνεται η ομογενής
γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης 
, (α)
όπου οι συντελεστές ,
,
είναι γνωστές συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες στο ανοικτό διάστημα .
Ορίζουμε
τον διαφορικό τελεστή L
μέσω της σχέσης
, (β)
όπου , .
Τότε η (α) γίνεται
. (γ)
Ισχύουν:
Πρόταση. Ο τελεστής
(β) είναι γραμμικός, δηλ.
,
για κάθε σταθερές ,
και
κάθε n φορές
διαφορίσιμες συναρτήσεις
, .
Πρόταση.
Αν ,
είναι δύο λύσεις της
εξίσωσης (γ) τότε και κάθε γραμμικός
συνδυασμός τους ,
όπου ,
αυθαίρετες
σταθερές, είναι επίσης λύση της (γ).
Λέμε
ότι οι συναρτήσεις ,
οι οποίες ορίζονται σ’ ένα
διάστημα , είναι
γραμμικώς ανεξάρτητες αν
απο τη σχέση
, ,
οπου Ci πραγματικές
σταθερές ποκύπτει οτι .
Θεώρημα. Κάθε
ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση (γ) έχει
n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Αν
είναι
ένα τέτοιο σύνολο λύσεων τότε η γενική λύση
της (γ) δίνεται από την σχέση

όπου
είναι πραγματικές σταθερές.
Έστω
σύνολο ,
n συναρτήσεων οι
οποίες ορίζονται σto ανοικτό διάστημα
και είναι n
φορές
συνεχώς παραγωγίσιμες σ’ αυτό. Η
ορίζουσα
ονομάζεται Βρονσκιανή του
συνόλου .
Θεώρημα.
Αν είναι
n λύσεις της εξίσωσης (g) στο διάστημα
,
τότε για την ορίζουσα Wronski
ισχύει
ο ακόλουθος τύπος :
όπου .
Έστω τώρα
ότι
είναι λύσεις της
εξίσωσης (3) στο διάστημα .
Τότε, είτε
Ι) για
κάθε ,
είτε
ΙΙ) στο
.
Θεώρημα. Ένα σύνολο ,
n λύσεων της εξίσωσης (g) είναι
γραμμικ;a ανεξάρτητο αν και μόνον αν η
Bρονσκιανή δεν
μηδενίζεται στο .
Κάθε
σύνολο ,
n λύσεων της
εξίσωσης (γ) στο διάστημα
για το οποίο ισχύει ότι
στο
,
ονομάζεται θεμελιώδες σύνολο λύσεων
της (γ).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι
γραμμικώς ανεξάρτητες στο :
1. ,
2. Δείξτε ότι συναρτήσεις
και
αποτελούν ένα θεμελιώδες
σύνολο λύσεων της
διαφορικής εξίσωσης
, .
3. Έστω ,
το
πλήθος συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται σ’
ένα ανοικτό διάστημα
και είναι -φορές
συνεχώς παραγωγίσιμες σ’ αυτό. Αν η Wronskian
για
κάθε , δείξτε
ότι η διαφορική εξίσωση τάξης 

έχει ως θεμελιώδες σύνολο
λύσεων τις συναρτήσεις .
4. Έστω και
δύο
γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις της
διαφορικής εξίσωσης
,
όπου και
είναι
συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα .
Δείξτε ότι οι συναρτήσεις
και
δεν
μπορούν να έχουν κοινά σημεία καμπής στο
εκτός αν οι συντελεστές και
μηδενίζονται
ταυτόχρονα σ’αυτά.
|