ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ
Δίνεται η ομογενής
γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης 
, (α)
όπου οι συντελεστές 
,
,
είναι γνωστές συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες στο ανοικτό διάστημα 
.
Ορίζουμε τον διαφορικό τελεστή L μέσω της σχέσης
, (β)
όπου 
, 
.
Τότε η (α) γίνεται
. (γ)
Ισχύουν:
Πρόταση. Ο τελεστής (β) είναι γραμμικός, δηλ.
,
για κάθε σταθερές 
,
και
κάθε n φορές
διαφορίσιμες συναρτήσεις 
, 
.
Πρόταση.
Αν ,
είναι δύο λύσεις της
εξίσωσης (γ) τότε και κάθε γραμμικός
συνδυασμός τους 
,
όπου ,
αυθαίρετες
σταθερές, είναι επίσης λύση της (γ).
Λέμε
ότι οι συναρτήσεις 
,
οι οποίες ορίζονται σ’ ένα
διάστημα 
, είναι
γραμμικώς ανεξάρτητες αν
απο τη σχέση
, 
,
οπου Ci πραγματικές
σταθερές ποκύπτει οτι 
.
Θεώρημα. Κάθε
ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση (γ) έχει
n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Αν
είναι
ένα τέτοιο σύνολο λύσεων τότε η γενική λύση
της (γ) δίνεται από την σχέση
όπου 
είναι πραγματικές σταθερές.
Έστω
σύνολο 
,
n συναρτήσεων οι
οποίες ορίζονται σto ανοικτό διάστημα
και είναι n
φορές
συνεχώς παραγωγίσιμες σ’ αυτό. Η 
ορίζουσα
ονομάζεται Βρονσκιανή του
συνόλου 
.
Θεώρημα.
Αν 
είναι
n λύσεις της εξίσωσης (g) στο διάστημα
,
τότε για την ορίζουσα Wronski
ισχύει
ο ακόλουθος τύπος :
όπου 
.
Έστω τώρα
ότι
είναι λύσεις της
εξίσωσης (3) στο διάστημα .
Τότε, είτε
Ι) 
για
κάθε 
,
είτε
ΙΙ) 
στο
.
Θεώρημα. Ένα σύνολο
,
n λύσεων της εξίσωσης (g) είναι
γραμμικ;a ανεξάρτητο αν και μόνον αν η
Bρονσκιανή δεν
μηδενίζεται στο 
.
Κάθε
σύνολο 
,
n λύσεων της
εξίσωσης (γ) στο διάστημα 
για το οποίο ισχύει ότι
στο
,
ονομάζεται θεμελιώδες σύνολο λύσεων της (γ).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι
γραμμικώς ανεξάρτητες στο 
:
1. 
, 
2. Δείξτε ότι συναρτήσεις 
και 
αποτελούν ένα θεμελιώδες
σύνολο λύσεων της
διαφορικής εξίσωσης
, 
.
3. Έστω ,
το
πλήθος συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται σ’
ένα ανοικτό διάστημα
και είναι -φορές
συνεχώς παραγωγίσιμες σ’ αυτό. Αν η Wronskian
για
κάθε 
, δείξτε
ότι η διαφορική εξίσωση τάξης 
έχει ως θεμελιώδες σύνολο
λύσεων τις συναρτήσεις .
4. Έστω
και
δύο
γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις της
διαφορικής εξίσωσης
,
όπου 
και
είναι
συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα 
.
Δείξτε ότι οι συναρτήσεις
και
δεν
μπορούν να έχουν κοινά σημεία καμπής στο
εκτός αν οι συντελεστές 
και
μηδενίζονται
ταυτόχρονα σ’αυτά.