ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΔΕ
Έστω 
ένα ανοικτό υποσύνολο του
.
Λέμε
ότι μια συνάρτηση 
ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz
ως προς 
,
όταν υπάρχει σταθερά 
έτσι ώστε για κάθε 
,
να
ισχύει
. (1)
Πρόταση: Έστω
ανοικτό και κυρτό υποσύνολο
του 
και
η συνεχήςσυνάρτηση
.
Αν υπάρχει η 
στο
και
είναι φραγμένη, με φράγμα 
,
τότε η 
ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz
ως προς την μεταβλητη
με σταθερά 
.
Θεωρούμε τώρα το ΠΑΤ
, (2)
, (3)
με
. Έστω
επίσης ορθογώνιο 
το οποίο είναι υποσύνολο
του και
έχει κέντρο το σημείο
.
Θεώρημα Picard - Lindelof
Αν η συνάρτηση
είναι συνεχής και ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz ως
προς 
στο
τότε
υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση 
η
οποία είναι λύση του προβλήματος αρχικών
τιμών (2), (3), ορισμένη σ’ ένα διάστημα 
,
όπου 
και 
.
Μοναδικότητα της λύσης
Έστω ότι η συνάρτηση
είναι συνεχής και ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz ως
προς στο
ανοικτό σύνολο 
με
. Αν
και
είναι
δύο λύσεις του ΠΑΤ, ορισμένες στα διαστήματα 
και 
αντίστοιχα, τότε
, 
.
(4)
Θεώρημα ύπαρξης, μοναδικότητας και μέγιστου διαστήματος ορισμού της λύσης
Αν η συνάρτηση
είναι συνεχής και επαληθεύει μια συνθήκη Lipschitz ως
προς στο
,
τότε υπάρχει ακριβώς μια λύση 
του
ΠΑΤ, η οποία
ορίζεται σε ένα διάστημα 
ώστε
κάθε άλλη λύση του προβλήματος να είναι περιορισμός της σε
κάποιο υποδιάστημα του 
.
Αν επιπλέον το
είναι φραγμένο και 
είναι
η απόσταση του σημείου 
του γραφήματος της από
το σύνορο 
τότε
ισχύει ότι
.
Θεώρημα Peano
Αν η συνάρτηση
είναι συνεχής στο ορθογώνιο
τότε
το ΠΑΤ έχει
τουλάχιστον μια λύση ορισμένη στο διάστημα ,
όπου 
είναι όπως στο θεώρημα Picard
– Lindelof.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
Δείξτε ότι τα ακόλουθα προβλήματα αρχικών τιμών έχουν μοναδική λύση:
1. 
, 
.
2. 
, 
.
3. 
, 
.
4. Γιατί το πρόβλημα αρχικών τιμών:
, 
,
δέχεται ως λύσεις τις διαφορετικές συναρτήσεις
και
.