ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ
ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ
ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΔΕ
Έστω
ένα ανοικτό υποσύνολο του .
Λέμε
ότι μια συνάρτηση
ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz
ως προς ,
όταν υπάρχει σταθερά
έτσι ώστε για κάθε ,
να
ισχύει
. (1)
Πρόταση: Έστω
ανοικτό και κυρτό υποσύνολο
του και
η συνεχήςσυνάρτηση
.
Αν υπάρχει η στο
και
είναι φραγμένη, με φράγμα ,
τότε η
ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz
ως προς την μεταβλητη
με σταθερά .
Θεωρούμε τώρα το ΠΑΤ
, (2)
, (3)
με
. Έστω
επίσης ορθογώνιο
το οποίο είναι υποσύνολο
του και
έχει κέντρο το σημείο .
Θεώρημα
Picard -
Lindelof
Αν η συνάρτηση
είναι συνεχής και ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz ως
προς στο
τότε
υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση η
οποία είναι λύση του προβλήματος αρχικών
τιμών (2), (3), ορισμένη σ’ ένα διάστημα ,
όπου
και .
Μοναδικότητα
της λύσης
Έστω ότι η συνάρτηση
είναι συνεχής και ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz ως
προς στο
ανοικτό σύνολο με
. Αν
και
είναι
δύο λύσεις του ΠΑΤ, ορισμένες στα διαστήματα
και
αντίστοιχα, τότε
, .
(4)
Θεώρημα
ύπαρξης, μοναδικότητας
και μέγιστου
διαστήματος
ορισμού της λύσης
Αν η συνάρτηση
είναι συνεχής και επαληθεύει μια συνθήκη Lipschitz ως
προς στο
,
τότε υπάρχει ακριβώς μια λύση του
ΠΑΤ, η οποία
ορίζεται σε ένα διάστημα ώστε
κάθε άλλη λύση του προβλήματος να είναι περιορισμός της σε
κάποιο υποδιάστημα του .
Αν επιπλέον το
είναι φραγμένο και είναι
η απόσταση του σημείου
του γραφήματος της από
το σύνορο
τότε
ισχύει ότι
.
Θεώρημα
Peano
Αν η συνάρτηση
είναι συνεχής στο ορθογώνιο
τότε
το ΠΑΤ έχει
τουλάχιστον μια λύση ορισμένη στο διάστημα ,
όπου
είναι όπως στο θεώρημα Picard
– Lindelof.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
Δείξτε ότι τα ακόλουθα
προβλήματα αρχικών τιμών έχουν μοναδική
λύση:
1. , .
2. , .
3. , .
4. Γιατί το
πρόβλημα αρχικών τιμών:
, ,
δέχεται ως λύσεις
τις
διαφορετικές
συναρτήσεις
και
.
|